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1、2 线性相关与线性无关,向量 向量组与矩阵,线性相关性的概念,线性相关性的定理,小 结 思 考,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,n维列向量组 可以排成一个mn分块矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,n维行向量组 可以排列成一个mn分块矩阵,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,注意,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,二、线性相关性的概念,6 当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使,7当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵,使,解 假设存在一组常
2、数k1,k2,kn 使得,所以,即 k1=k2=kn=0,因此 线性无关。,解：,系数行列式为,方程组有非零解，即有非零的数,故,证,也可用矩阵形式表示：,这个线性组合的组合系数,若所给向量均为行向量，则有,若所给向量均为列向量，则有,向量 能由向量组 线性表示,三、相关性的判定及有关重要结论,1.线性相关与线性组合的关系定理,证：,0,O,例如，向量组,是线性相关的，因为,对于只有两个向量a，b的向量组，由定理可得，a， b线性相关的充分必要条件是a， b的对应分量成比例。,证：,0,0,矛盾,O,所以表示式惟一。,下证唯一,向量组的等价,向量组的等价,定义:,设有两个 n 维向量组,若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；,若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I ）与向量组（II）等价。,从而,定理,命题1,命题2,向量组间的等价，具有下列性质：,向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明（）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,
