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1、4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,4 正弦函数和余弦函数的,在直角三角形ABC中,C=90,sin,cos,tan分别叫作角的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?,在直角三角形ABC中,C=90,sin,cos,当角不是锐角时,我们必须对sin,cos,tan的值进行推广,以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?,当角不是锐角时,我们必须对sin,cos,ta,1. 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (重点)2.理解正弦函数、余弦函数在四个象限内的符号.(重点)3.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(难点)
2、,1. 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (重点),思考:在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角 ,使角 的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),正弦函数、余弦函数又该如何表示呢?,探究点1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义,思考:在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的探究点1 任意角,如图所示,点P的纵坐标v叫作的正弦函数, 记作v=sin,点P的横坐标u叫作的余弦函数, 记作u=cos.,如图所示,点P的纵坐标v叫作的正弦函数, 记作v=sin,小结:1.对于给定的角,点P的纵坐标v,横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函
3、数都是以角为自变量,以单位圆的点的坐标为函数值的函数.,小结:1.对于给定的角,点P的纵坐标v,横坐标u都是唯一确,3.如图,在给定的单位圆中,对于任意角可以是正角、负角或是零角,所以正弦函数v=sin,余弦函数u=cos的定义域为全体实数,3.如图,在给定的单位圆中,对于任意角可以是正角、负角或是,思考:由三角函数的定义,如何求任意角的正弦、余弦值?提示:求任意角的正弦、余弦值分两步,第一步求出角的终边与单位圆的交点P,第二步写出点P的坐标,其中纵坐标为正弦值,横坐标为余弦值.,思考:由三角函数的定义,如何求任意角的正弦、余弦值?,探究点2 三角函数值在各象限的符号,思考1 角的正弦、余弦、
4、正切的值的正负与谁有关?提示:与角终边所在的象限有关.思考2 如何判断角的正弦、余弦、正切值的正负?提示:角的正弦、余弦、正切值的正负只与点P(u,v)的坐标u,v的正负有关,所以可通过u,v的正负来判断角的正弦、余弦、正切值的正负.,探究点2 三角函数值在各象限的符号思考1 角的正弦、余弦,根据三角函数的定义,研究三角函数的值在各个象限的符号.,O,x,y,O,x,y,+,_,+,+,+,_,_,_,口诀: 全正,正弦,全负,余弦,根据三角函数的定义,研究三角函数的值在各个象限的符号.Oxy,提升总结:正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号,+,+,-,+,+,-,-,-,提升总结:正弦函数、
5、余弦函数的值在各象限的符号 象限 第一象,(1,0)OMxyQPN,解:(1)如图,以原点为角的顶点,以 x轴非负半轴为始边,顺时针旋转 ,与单位圆交于点P, ,即为所求作的角.,例2 在直角坐标系的单位圆中,(1)画出角.(2)求出角的终边与单位圆的交点坐标.,解:(1)如图,以原点为角的顶例2 在直角坐标系的单位圆中,,例3 已知角 终边上一点P 求角 的正弦函数值、余弦函数值.解: 因为点P 在角 的终边上,所以 可知则sin = cos =,例3 已知角 终边上一点P 求角 的正弦函数,0,1,0,-1,0,在直角坐标系的单位圆中,求各个角终边与单位圆的交点坐标,并将各特殊角的正弦函数
6、值、余弦函数值填入下表,观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗?,010-1010-101 在直角坐标系的单位圆中,求各个角,总结:用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表示函数值,于是任意角三角函数可以表示为 它们的定义域为全体实数.,总结:用x表示自变量,即x表示角的大小,,1.已知角的终边经过 ,求的正弦函数值、余弦函数值,解:,1.已知角的终边经过 ,求的正弦函数值、余弦函数,2.确定下列三角函数值的符号:,解:,(1)因为250是第三象限角,所以cos2500.,(2)因为,2.确定下列三角函数值的符号:解:(1)因为250是第三象,理解正弦函数、余弦函数的定义.知道正弦函数、余弦函数都是周期函数,并知道它的最小正周期为 2.,回顾本节课的收获,理解正弦函数、余弦函数的定义.回顾本节课的收获,一个人即使已登上顶峰,也需要自强不息. 罗素贝壳,一个人即使已登上顶峰,,