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1、,第九章 矩 阵,9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算 9.3 矩阵的逆9.4 矩阵的秩,9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算9.3 矩阵的逆9.4 矩阵的秩,第八章 行列式,8.1 行列式的定义,8.2 行列式的性质,8.3 行列式的计算,8.4 克莱姆法则,8.1 行列式的定义,它可以通过加减消元法求解得,(1.1.1),一、二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,在初等数学中,大家都学过二元一次线性方程组,本节首先由二元与三元一次线性方程组引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给出一般 阶行列式定义.,并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的线称
2、为主对角线.每一个数均称为一个元素.如(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义式.,(1.1.2),例如,于是(1.1.2)式便可以表示为:,解 易见系数行列式,又,例1解方程组,于是其解为,2.三阶行列式,对于三元一次线性方程组,类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义,称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右下角的线称为主对角线.,仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组(8.1.6)的系数行列式为 ,然后将 中的第一、二、三列元素分别换为
3、常数项 、 、 后便得到行列式 、 和 ,于是方程组(8.1.6)的解可表示为 :,例2 解方程组,解 系数行列式,于是,该方程组的解为,在一个行列式中,称去掉某个元素 所在的行和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 的余子式,记作 ,而 称为元素 的代数余子式,记作 ,即,元素5的代数余子式为,元素-4的代数余子式为,二、阶行列式定义,1.余子式与代数余子式,由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.,2.行列式与代数余子式的关系,(1).二阶行列式与代数余子式的关系,同理可推出,可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积的和
4、.,类似可证,它还等于其它行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和,由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.,(2).三阶行列式与代数余子式的关系,综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.,例3 计算,解,2. 阶行列式的定义,定义8.1 把由 个元素 ,组成的记号,称为 阶行列式,记作 ,其中 称为第 行第 列的元素,规定,当 时 行列式,当 时 行列式,或,并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为 阶行列式 按照第 行和第 列的展开式.,(1.1.9),(1.1.10),例4 设四阶行列式,按第2列展
5、开该行列式并求值,解,注2:易见该题若按其它行或列展开计算时就会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而简化计算.,例5 按定义分别计算,解,注3:形如该例中 的行列式称为上三角形行列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角线上的元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式的值等于主对角线上的元素乘积.,(1) (2) (3) (4),2.设,请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一种计算简单些,最后按简单的方式算出其值.,在给出行列式性质之前,首先给出行列式的
6、转置概念.,8.2 行列式的性质,按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.,称该新行列式为原来行列式 的转置行列式,简称为 的转置,记作 .即,注1:显然若 是 的转置,则 也是 的转置,即 与 互为转置.,性质1 行列式转置值不变,即,易见,注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地位是平等的,凡是行具有的性质对于列也具有.,性质2 交换行列式中任意两行(两列)元素的位置,行列式须改变符号.即,如,推论1 如果行列式中有两行(或两列)元素对应相等,则该行列式的值为零.,因为如果行列式 中有两行(或两列)元素对
7、应相等的话,互换这两行(两列)元素的位置行列式不会变,还为 ;但另外由性质2知这两行(两列)元素的位置互换行列式须改变符号, 变为 ,于是必有,性质3 用 乘以行列式的某一行(列)的各元,素,就等于用 乘以该行列式,即,推论2 如果行列式的某一行(列)有公因子,则公因子可以提到行列式的前面.,推论4 如果行列式中有一行(列)元素全部为零,则该行列式的值必为零.,事实上,当性质3中的常数 时,即得该结论.,推论3 如果行列式中某两行(列)的元素对应成比例,则该行列式的值必为零,性质4 如果行列式的某一行(列)的各元素均可以写成两个数之和,则该行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个
8、数为所在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素还是原来的.,以三阶行列式为例,可将性质4表示为,解 (1)因为,所以 故,(2),(2),性质5 将行列式的某一行(列)的各元素同乘以常数 后加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不变.,例2 计算,解,性质6 行列式 的某一行(列)元素与该行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于该行列式 ,而与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于零,即,习题8-21.利用行列式的性质计算,(1) (2) (3),2.利用行列式性质证明,8.3 行列式的计算,首先,介绍一下行列式计算中所使用的一些符号,(1)把第 行(列)与第 行(列)元素的
9、位置互换时,用符号 来表示;,(2)把第 行(列)的元素同乘以常数 时,用符号 来表示;,(3)把第 行(列)的元素乘以 后加到第 行(列)上去,用符号 来表示.,本节利用行列式的性质,给出两种行列式的计算方法:化三角形法和降阶展开法.,注意一点:当“作行变换”时请将上述符号写在等号上面,而“作列变换”时将其写在等号下面,用以区分行和列的变换.,下面介绍行列式计算中常用的两种方法:化三角形法和降阶展开法.,该种方法是利用行列式的性质将所求行列式化为上(下)三角形行列式,然后将主对角线上的元素相乘即得该行列式值的一种方法.一般习惯将其化为上三角形行列式,此时要将行列式中主对角线下方的元素全化为零
10、(利用性质5),化时应注意化行(A行乘以某一个数加到B行上去时,称A行为化行,B行为被化行)左边第一个非零元素最好为1,1.化三角形法,解 先分析一下: 显见第一行第一列处的元素不等于1和-1,如果直接要将其下边的元素化为零,则必会出现分数,从而对后边的计算带来困难.因此可先将第一列与第三列交换一下(也可以将第二行乘以-1后加到第一行),这样一来再化就方便的多了.,在所要计算的行列式中,选择一个零元素最多的行或列,且若非零元素多于两个或两个以上时,非零元素应尽可能具有倍数关系或小一点的,当然该行或列中只有一个非零元素最好(若不是可利用行列式的性质化为仅有一个非零元素的情形),然后再按该行(列)
11、展开,直到求出其值为止.称这种,2.降阶展开法,计算行列式的方法为降阶展开法.,例3 计算,解,例4 证明,证,例5 解方程,解 因为,所以有,即,3.计算 阶行列式,(1) (2),4. 证明,8.4 克莱姆法则,行列式的概念是由二元和三元线性方程组引入的,现在学习了行列式的计算后,能否利用行列式来求解一般含有 个方程的 元线性方程组便成了我们所关心的问题了.本节给出利用行列式求解含 个方程的 元线性方程组的方法.,其系数构成的阶行列式,称为线性方程组(1.4.1)的系数行列式.,用代数余子式 分别乘以(1.4.1)式的第1个、第2个、 、第 个方程,然后再相加得,由行列式的性质6可得,其中
12、 是把系数行列式 的第 列的元素依次换为常数项 以后所得到的行列式.,于是,当 时可得方程组(1.4.1)的解为,另外,可验证形如上式的一组数一定是方程组,第二列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和为零.,第 列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和等于系数行列式D.,是 按第 列的展开式,(1.4.1)的解.,例1 解线性方程组,于是所给方程组的解为,解 因为系数行列式,所以该方程组有惟一解,例2 解线性方程组,解 因系数行列式,所以该方程组有且有惟一一组解,因此由Cramer法则知其解为,如果线性方程组(1.4.1)的常数项全为零,则该方程组变为,(1.4.2),推论1 如果齐次
13、线性方程组(1.4.2)的系数行列式 ,则它必仅有唯一一组零解.,事实上,由于 ,由行列式的性质知必有 根据克莱姆法则知仅有唯一的一组零解 .,称常数项全为零的线性方程组(1.4.2)式为齐次线性方程组;当(1.4.1)式中常数项不全为零时,称方程组(1.4.1)为非齐次线性方程组.,事实上可证: 当系数行列式 时,(1.4.2)也必有非零解(用后面知识可证).,例2 判断齐次线性方程组,是否只有零解.,解 因为系数行列式,所以该方程组只有零解.,解 系数行列式,因方程组有非零解,所以 即,因此,习题1-41.用克莱姆法则求解下列线性方程组,(1) (2),2.判断下列齐次方程组是否有非零解,(1) (2),3.设下列齐次方程组有非零解,求,得,得,得,当 时得,同理可求得,返回,
