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1、第4章 系统状态反馈和 状态观测器,目录4.1 状态反馈与输出反馈4.2 单输入单输出状态反馈系统的极点配置法4.3 状态重构问题4.4 观测器的极点配置,4. 1 状态反馈与输出反馈,1.状态反馈设原系统：,1/s,u,y,-,+,+,+,+,其中：系统输入-状态反馈阵状态反馈系统(闭环系统）：若=0，特征方程,状态反馈控制律：,2.输出反馈a.输出反馈至参考微分处( ),1/S,H,u,-,+,+,y,其中-输出反馈阵,b.输出反馈至参考输入：,1/S,u,-,+,+,比较：输出反馈 输出反馈H，F选择的自由度比状态反馈K小，输出反馈 部分状态反馈。 C=I，FC=K时，才能等同状态反馈。
2、 因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但 输出反馈实现较方便，而状态反馈中不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。 引入各种反馈构成闭环系统后，系统的能控性和能观测性如何呢？,4.2 闭环系统的能控性与能观测性,定理1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证系统的能观测性 证明：设原系统 的状态空间表达式为： 引入u=v-kx的状态反馈后系统 动态方程为：,先证 能控的充要条件是 能控： 的能控性阵： 的能控性阵：,另一方面： 的状态反馈系统 或： 是由 经初等变换得到，而初等变换,例：解：判断原系统的能控性，能观性,能控,能观测,引入状态反馈：,则：,令：,能控,不能观测,原系统：,
3、状态反馈闭环系统：,引入状态反馈后出现零极点对消,定理2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观测性与能控性,证明：输出反馈中的FC等效于状态反馈中的K，所以输出反馈也保持了系统的能控性不变。由能观测性判据阵，同样可把SOH看成是SCO经初等变换的结果，因此能观测性保持不变。,定理3：输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观测性，但可能改变原系统的能控性 证明：1）用对偶原理证明能观测性不变,设原系统 ，输出反馈的系统 若原系统 能观测 对偶系统 能控。 由定理1可知，系统 引入状态反馈后的系统 能控性不变 对偶系统 能观测性不变。即,关于能控性： 设原系统 能控 对偶系统 能观测,而系统 的能
4、观测性阵 ：,4.3 单输入/单输出系统的极点配置,控制系统的性能主要取决系统的极点在根平面上的分布。极点配置就是通过状态反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态特性。,设原系统：,1/S,u,-,+,+,y,x,v,引入状态反馈：,-闭环系统的系统阵,闭环系统的特征多项式,定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是：原系统状态完全能控证明：充分性设原系统能控 任意配置极点原系统能控，一定存在非奇异线性变换阵将( A，b) 能控标准型,引入状态反馈，其中其中：,是能控标准型（规范型）,特征多项式：,比较 与,根据给定的n个希望闭环极点，其期望的闭环特
5、征方程,可任意配置极点,能控标准型,必要性：任意配置极点原系统状态能控反证法：即假设原系统可任意配置极点，但原系统不完全能控。,设,系统不完全能控，采用非奇异变换，将系统分解成能控和不能控两部分，即,的特征值( 的极点)不能任意配置 与已知矛盾，所以反设不成立。,当系统状态不完全能控时，状态反馈只能配置系统能控部分的极点，而不能影响系统不能控部分的极点。,几点说明：（1）在原系统状态完全能控的情况下，可通过状态反馈任意配置系统的极点；（2）当系统不完全能控时，状态反馈只能任意配置系统能控部分的极点，而不能改变系统不能控部分的极点；（3）对单输入/单输出系统极点配置定理对多输入/多输出系统也成立
6、，仅仅是状态反馈矩阵K是不惟一的，对单变量系统K是唯一的。,求解状态反馈阵的步骤：验证原系统的能控性闭环系统特征方程：希望的闭环系统的特征方程：计算,直接求出,a)原系统是能控标准型：b)原系统不是能控型， 比较 与C）或按能控标准型求 P变换阵（ ）d)写出闭环系统状态方程：,标准型法求出,例1：要求通过状态反馈将闭环极点配置在解：能控标准型能控设,1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,例2: 要求通过状态反馈将闭环极点设置在解：（1）,原系统能控,(2),状态完全能控K阵存在，设,(3),(4)令,(5),1/s,1/s,1/s,2,3,3,-,-,-,+,+,y,v,3,闭环系
7、统的传递函数：,系统有一个极点和零点对消，系统不完全能观测,4.4 状态反馈对系统零极点的影响,设单输入出系统：已知(A,b,c,d)能控，则经过将 (A,b,c,d)化为能控标准型,引入状态反馈：,设：,状态反馈后系统的零点不变，极点可变，可能导致系统零极点对消,具有输入变换器和串联补偿器的状态反馈极点配置,对于完全能控的系统，通过状态反馈可以实现系统的极点任意配置，但不能改变极点的个数，不能改变闭环系统的零点，并且一旦闭环系统极点确定，还不能改变闭环传递系数。系统设计时，稳态和动态性能所决定的期望的传递函数与原被控系统的传递函数均不相一致时，单状态反馈达不到要求。,具有输入变换器和串联补偿
8、器的状态反馈,Gc(s)是串联补偿器，F是输入变换器。,设计的基本原理：（1）根据期望的闭环传递函数设计串联补偿其 Gc(s)-实现要求的极点个数和要求的闭环零点；（2）通过状态反馈实现要求的闭环极点；（3）根据要求的闭环传递系数，确定输入变换器F。,例：系统结构如图所示。期望的闭环传递函数为,设计串联补偿器Gc(s) ，状态反馈阵K和输入变换器F。,（1）设计串联补偿器Gc(s)原系统的状态空间表达式和传递函数为,需要增加一个闭环极点，由于闭环极点的位置可由状态反馈自由移动，从实现方便，可选择串联补偿器的传递函数为,（2）设计状态反馈阵K,（3）确定输入变换器F,状态反馈闭环系统的结构图,其
9、它一些情况：（1）增加零点。,串联补偿器需准确提供该零点，同时还需提供一个极点。,（2）移动零点。,串联补偿器必须把零点从-0.5移动到-3.5。采用极点抵消零点，再增加零点，同时还需提供一个极点。,（3）消除零点。,串联补偿器采用极点抵消零点，同时还需提供一个极点。,4.5 输出反馈实现极点配置,输出反馈状态微分设多输入单输出系统：,B,A,1/s,C,h,u,y,-,+,定理：由输出至的反馈任意配置极点的充要条件是原系统状态完全能观测的证明：运用对偶原理：若(A,B,C)能观，则 能控，可由状态反馈实现极点配置：可求出h,输出反馈至参考输入的极点配置：,B,A,1/s,C,f,u,-,+,
10、引入输出反馈：对于完全能控的系统，采用输出线性反馈不一定能任意配置极点。,y,v,例：系统的状态空间表达式为：,若采用输出反馈，是否可使闭环系统稳定；若采用状态反馈，是否可使闭环系统稳定。分析系统的能控和能观测性，,采用输出到输入的反馈，则闭环系统的系统矩阵,不论f取任何值都不能使系统稳定。,4.6 全维状态观测器及其设计,状态观测器状态估计器状态重构 原系统状态估计状态全维状态观测器,b,I/S,C,A,观测器,k,-,要求：,状态观测器的构成： 实现状态重构，即设计一个观测器系统，该系统的输入是原系统的输入和输出，它的输出就是原系统的一个状态渐近估计。,原系统：构造系统：,尽管两个系统的参
11、数，输入信号都一样，但系统的初始状态不可能完全一样，,但是可加入输出量比较的反馈来进行修正，这就可得到所求的观测状态。,全维观测器的设计：,-观测器的系统阵,-观测器的输出反馈阵,(2),观测器存在的条件：,偏差状态方程,令,状态与估计状态的偏差,为使观测器的响应速度大于状态反馈系统的响应速度而希望的特征多项式,当输出反馈起作用，可选择，使,的选择：,当输出反馈不起作用,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,状态反馈部分,观测器部分,-,定理：若系统(A,B,C)完全能观测，则可构造能任意配置极点的全维观测器对原系统状态来进行估计：,适当选取,关于观测器的极点：（1）为了保证估计
12、状态逐渐逼近实际状态，观测器的极点均具有负实部；（2）观测器的极点决定了估计状态逼近实际状态的速度，实部越负，逼近速度越快；（3）观测器的极点还决定了观测器的抗干扰能力，响应速度越快，观测器的频带越宽，抗干扰能力越差。通常将观测器的极点配置得使观测器的响应速度比系统稍快些。,定理：若系统(A,B,C)不完全能观测，则观测器存在的充分必要条件是其不能观测部分是渐近稳定的。,对于不完全能观测的系统按能观测性分解为能观测和不能观测两部分。能观测部分极点可以任意配置；不能观测部分本身极点为负实部。,例： 设计观测器，使观测器的极点为：解：,原系统能观测 观测器的极点可任意配置。,令,又,设,观测器的状
13、态方程,原系统,观测器系统,4.7 降维状态观测器 全维状态观测器其维数和控制系统状态个数一样。实际上，系统的输出y是能够严格测量的，因此，利用系统的输出量直接产生部分状态变量，从而降低观测器的维数，构成降维状态观测器。可证明，若系统是能观测的，且输出为q维，系统的状态为n维，则需要观测器的状态可减为n-q维。,定理：对于完全能观测系统,假设状态x是n维，y是q维的。，则存在n-q维降维观测器为,证明：,设非奇异变换阵,线性变换得,将和q个输出量相当的状态变量分离出来.,状态 能直接由输出y获得，只要将n-q个状态变量 由观测器来重构，构造子系统的全维观测器。,为了消去等式右边y的导数项，做变
14、换得,设计q维的全维状态观测器,经变换后系统状态变量的估计值可表示为而原系统的状态变量估计值为,状态观测器解决了系统状态变量重构问题，为实现状态反馈创造了条件。依靠状态观测器所构成的状态反馈系统如图所示。整个系统由三部分组成，原系统，观测器和状态反馈。,4.8 带状态观测器的状态反馈系统,1/S,u,-,+,+,1/S,+,H,K,v,-,状态反馈部分,观测器部分,-,带状态观测器的状态反馈系统结构图,原系统 引入状态反馈： 全维观测器：,由上得整个闭环系统的状态空间表达式（组合系统，2n个状态变量）,或状态和状态估计差,上述两系统满足如下的线性变换,闭环系统的基本特征1）分离定理：组合系统的
15、特征多项式为,由观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项适合观测器部分的特征多项式的乘积，而且两者相互独立。系统（A，B，C)能控且能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵H可按各自的要求，独力进行设计，成为分离特性。,2.传递函数阵的不变性,带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵等于直接状态反馈系统的传递函数阵。,3.观测器反馈和直接反馈的等效性 系统能观测时，选择H阵可使A-HC的特征值均具有负实部，所以必有 ，因此，当 时，必有,这表明，带观测器的状态反馈系统，只有当 ，才会与直接状态反馈系统完全等价。但可通过选择H阵来加速 ，即加快 渐近于 的速度。,例：已知系统的状态表达式，采用状态观测器实现状态反馈，闭环极点配置在,解：系统是状态能控的和状态能观测的，可实现状态反馈配置极点，可以构造状态观测器逼近实际状态，由分离定理分别求。,1.状态反馈阵,状态反馈后的特征多项式,期望的特征多项式,比较得：,2.状态观测器阵,观测器的特征多项式,考虑观测器的速度应该比被控对象快，取观测器的期望极点为观测器期望的特征多项式,比较得：,观测器方程：,
