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1、定积分的思想和方法：,求近似以直(不变)代曲(变),取极限,定积分的计算可概括为四个步骤：,分、匀、合、精,微元法的实质是近似、求和,定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素法的思想与方法,回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、元素法的思想与方法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,面积表示为定积分的步骤如下（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,Calculus 在数学上谓之：微积分，在医学上的意思是：结石,abxyo（4） 求极限，得A的精确值提示面积元素Calcu,定积分的应用,元素法的一般
2、步骤：,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法或微元法,应用方向： 平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积；功、水压力、引力和平均值等的计算。,这个方法通常叫做元素法或微元法应用方向： 平面图形的面积、,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,二、定积分在几何上的应用(I)面积,曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形二、定积分在几,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解两曲线的交点面积元素选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,相当于定积分作变量代换,如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积相当于定积分,解,椭圆的参数方程,
3、由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,这是在作特别的定积分的变量代换。,2.极坐标系情形,就象中国的纸折扇,面积元素曲边扇形的面积这是在作特别的定积分的变量代换。2.,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解由对称性知总面积,解,由1+cos 是偶函数得对称性,解由1+cos 是偶函数得对称性,思考题,思考题,思考题解答,思考题解答xyo,定积分的应用,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1.旋转体的体积,二、定积分在几何上的应用(II)体积
4、,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而,旋转体的体积为,xyo旋转体的体积为,解,解,定积分的应用,定积分的应用,定积分的应用,又及：,利用这个公式，可知上例中,此结果稍后给出,又及：利用这个公式，可知上例中此结果稍后给出,这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱壳剖开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方体的体积：长2 x宽 f(x) 高 dx,如图，小曲边梯形绕着y轴旋转一周所成的立体我们称之为圆柱壳，该柱壳的体积微元为,o,x,y,x+dx,x,y=f(x),b,a,柱(壳)切法,这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱壳剖开摊平，该柱壳的体积,这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱壳剖
5、开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方体的体积：长2x宽 f(x) 高 dx,把所有的柱壳的体积累积起来，就是,柱切法,想象那种山东大葱(京葱) 的鳞茎结构由一层一层的组织叠加而成,如何分？,这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱壳剖开摊平,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,体积微元,二、定积分在几何上的应用(II)体积,2.平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直,这一做法就是 中国古代学者祖暅的思想“祖暅原理” “夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异”的应用。,人们也常把上述
6、原理称为“刘（徽）祖（暅）原理” 。直到一千多年后，意大利人 卡瓦来利才提出同样的理论。不过，西方人还给出了具体的计算方法积分计算的技术，是一大进步。,这一做法就是 中国古代学者祖暅的思想,历史上的例子“牟合方盖”两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体体积的计算。东汉末的刘徽就是通过计算出牟合方盖的体积从而推算出：牟合方盖的体积:其内切球的体积=4 :圆周率，这一成果为后人祖冲之推算出圆周率之祖率奠定了基础。(引自九章算术注),容易看出旋转体的体积计算公式是平行截面面积为已知的立体的体积计算公式的特殊情形。,历史上的例子“牟合方盖”两个半径相同的圆柱其中心,例7 刘徽牟合方盖的
7、体积,两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其1/8的那一部分之体积计算。,y,z,x,o,坐标x处的截面面积A(x),x,例7 刘徽牟合方盖的体积两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相,刘徽牟合方盖的体积,两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其1/8的那一部分之体积计算。,y,z,x,o,x,刘徽牟合方盖的体积两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成y,y,z,o,x,坐标x处的截面面积A(x),o,x,x,y,a,B,C,x,yzox坐标x处的截面面积A(x)oxxyaBCx,z,x,o,坐标x处的截面面积A(x),o,x,
8、x,y,a,B,C,y,x,想想：刘徽在那个时代就能得到这一结果是多么的了不起啊！,zxo坐标x处的截面面积A(x)oxxyaBCyx想想：刘徽,练 习 题,练 习 题,到此，我们要稍作停顿，回顾一下微元法，,现在的问题是，我们如何对U进行分割呢？通常是用直线分割平面图形，用平面切割空间立体，但是也并非绝对。 如计算圆的面积时，我们可以用半径为x和x+dx的同心圆分割圆，则所成的圆环之面积即为圆的面积微元,圆 切 法,到此，我们要稍作停顿，回顾一下微元法， 现在的问题是,该圆环之面积相当于以圆周长为长、以dx为宽度的矩形的面积，相当于将圆环拉直，其面积用矩形面积公式近似计算。,圆的直径与圆周相
9、垂直，,圆 切 法,该圆环之面积相当于以圆周长为长、以dx为宽度的矩,同样地，在计算球的体积时，我们可以用半径为x和x+dx的同心球面切割球体，则所成的球壳之体积即为球体的体积微元,球体的半径与球面相垂直，,这就相当于将球壳“摊平” ，球壳的体积就相当于以半径为x的球面为底，以dx为高的柱体的体积。,球 切 法,想象：洋葱、 滚雪球？,同样地，在计算球的体积时，我们可以用半径为x和x+d,二、定积分在几何上的应用(III)弧长,1.平面曲线的弧长,二、定积分在几何上的应用(III)弧长1.平面曲线的弧长,则称数 s 为可求长曲线 C 的弧长.,定义2,光滑曲线的显著几何特征是处处有切线,则称数
10、 s 为可求长曲线 C 的弧长.定义2光滑曲线的显,定理1,该定理的证明并不很难,请诸位自学,只需联想到Chap9的Th9.1的证明,多多相似.,但需注意所谓弧长微元或曰弧微分者:,定理1该定理的证明并不很难,请诸位自学,只需联想到Chap9,以直_切线_替代曲线弧,以直_切线_替代曲线弧,弧微分,2.直角坐标情形,弧微分2.直角坐标情形,解,例8 计算 圆周长。,由对称性,考虑作变量代换,解例8 计算 圆周长。由对称性考虑作变量代换,曲线弧为,弧长,3.参数方程情形,曲线弧为弧长3.参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部
11、分的弧长,曲线弧为,弧长,4.极坐标情形,曲线弧为弧长4.极坐标情形,思考题,思考题,思考题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，我们只知道光滑的曲线是可求长的,例如,那种处处连续而处处不光滑的曲线是不可求长的,换言之,往往其长度是无穷大.象前面曾经介绍过的Koch雪花曲线就是一例.在分形几何中这种例子比比皆是.,思考题解答 不一定仅仅有曲线连续还不够，我们只知,定积分的应用,二、定积分在几何上的应用(IV) 旋转曲面的面积,详细介绍请见教材 P 254 .,用计算圆台的侧面积方法解之,二、定积分在几何上的应用(IV),定积分的应用,例10 推导旋转椭球面的面积.,解,用凑微分法不难计算得到结果,略繁.,例10 推导旋转椭球面的面积.解用凑微分法不难计算得到结果,椭圆积分,椭圆积分,
