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1、平面向量的数量积及运算律,物理中功的概念,其中力F 和位移s 是向量,功是数量.,是F的方向 与s的方向 的夹角。,新课引入,先看一个概念-向量的夹角,O,A,B,a,b,当 ,,当 ,,当 ,,记作,已知,a 与b 同向;,a 与b 反向;,a 与b 垂直.,练习一:,在 中,找出下列向量的夹角:,平面向量的数量积的定义,(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定.,(3) 在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是 0,180,(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,它与数的乘法是有区别的, a b不能写成 ab 或 ab .,说明:,例题1:求下列向量的
2、内积,平面向量数量积的性质:,数量积的运算律:,交换律:,对数乘的结合律:,分配律:,(1),解:由题意,练习二:,C,1,等边三角形,总结提炼,1、向量的数量积的物理模型是力的做功;,4、两向量的夹角范围是,5、掌握五条重要性质:,演练反馈,判断下列各题是否正确:,(2)、若 , ,则,(3)、若 , ,则,(1)、若 ,则任一向量 ,有,(4)、,O,在实数中,有(ab)c = a(bc),向量中是否也有 ? 为什么?,想一想:,答:没有.,因为右端是与 共线的向量,而左端是与 共线的向量,但一般 与 不共线,所以,向量的数量积不满足结合律,想一想:,所以,向量的数量积不满足消去律,在实数
3、中,若ab = ac且a 0,则b = c向量中是否也有“若 ,则 ”成立呢 ? 为什么?,O,A,B,C,例3 已知| | = 6,| | = 4, 与 的夹角为60,求:,解:(1),= 72.,1.,小结:,2. 向量运算不能照搬实数运算律,交换律、数乘结合律、分配率成立;向量结合律、消去律不成立。,3. 向量的主要应用是解决长度和夹角问题。,运用平面向量的坐标求内积,探究:设,,分别为x轴和y轴,正方向上的单位向量。,1,1,平面向量内积的坐标表示,即:两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.,探究:利用坐标公式验证向量的模,例题:求下列向量的内积,解:(),例题2:已知,,求:,(1),(2),向量夹角的计算公式,例题3:已知,,求,,,,解:,例判断下列各组向量是否相互垂直:,解:,解:,