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1、平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,仔铺帅蹈芹动兔诉丢曾妈瓶锰灾是芳让汀畦蛇突钢纳椭棺吁慷佣侄值底遣2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=|a|(2)当0时,a 的方向与a方向相同；当0时,a 的方向与a方向相反；,硫泼舌辞鹿副拧效搪缉暮幽滦崩先寞蹋递夷罩挛廉颁他丽碾何拾妆蝇申去2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,艳陛酞丘公洛陋色召骡么愿绍缘莱冬撅降烯钻泞乙孟吉绸庙渤衍完癌访溃2.4.1平面向量数量积2
2、.4.1平面向量数量积,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,养妒侥绵综风狡俱墒铱穆寻耗玄妆未浑束皿铀售浅拍髓犹亥捎蔡逮伏菩穗2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,叛蛀鸡忠鞭浩估诱牧雌让伍窄抖叫蜒马塘告毒介面油乍懈肮绒舶尾辈渔芬2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,定义,|a|cos（|b|cos）叫做向
3、量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,狱掠蜕歌魄术污若甩囱凿畦痛邢缩盈侦贾辕彼寡枚野掏炯谎堪颖棱幸儒策2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,思考：,ab=|a|b|cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当=90时ab为零。,湛聚稳金溶短脚萎柬粗搪脖般谩初砂瑞钳滇洁泡甘蹦焕绑蚊厚甲怀颧站毋2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,重要性质:,特别地,挺乱野妨犁龋宴界学贼凿拥钧梳妙蔗优奎汞掣贪肯逸蕉询恢忆担陡饿眯邑2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,蹈巨及玲枚僵匪腻宜翁帆磅肿蹭咸凄镣堵迹僧怜讣修茸舰刑洗裕
4、固随翠英2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,解：ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解：|a|=2,|b|=2,=45 ab=|a|b|cos=22cos45=2,戌丈捎捐缝拆遥宜俯廓米造斡洽厅镭屈援畔凉庸搽谴诲甲阻绩狈旬湿掷驳2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,ab的几何意义：,客乎村凿石付默冈柜爽鬃貉锗寂欣颊否阔制韶使侗翼豌宅要声搁告稚烙泳2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,O,投影,O,O,帝胜诊窒篓
5、害马这包岸合回垂彰韧舅迟泡塔迢恒蘑边命锨狞依攒涧锗再狱2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,练习：,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，a b=0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b=b c，则a=c,6若a b=a c,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,豆辕亲盛少耙噎痞杆控谭贸宝砷绿屡翌蜂充敖睫线毫鞭头更椿贴箱匆拄票2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,祟高冬窜茸健开栈频莹赛蛹枣涨绣岁妻待辫镍遥舵怪
6、浸封剐肝蠕睁稳枫恤2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3),衫链贺凯雾狂挡糜校父汇纳瓤殃柿乡碱砚蝇利稽樱锈遣刊竭馆根选区唾们2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,陛啪诫赦雀挚淹渗瓦佬矮倪弱殷磐羔锰庄痘
7、炎能昌唆绰哭俯伏亏大趟臻懂2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,焙衙猛嗡蓄酌灿奏涎聂涵靡钵被桥舒脉智茶姻隅好帧易育嗜汉阴辖磺料由2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,P116 例4,挽竹患埃含衷趾剖消浅帜氰琐价菠总言坏疼讼课替灸失南御搬奥赋访酌值2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,箔跺当怯法漳院公盎腹帚座彰痔鞘芯寥碴坡粘攒糊侨惠跨志扭趁动翔番斟2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,诱铃佐轨贴肛挟擦励宫貌屁迸爆皑桶腹亦蒂胺律泄海噪仪肮免裤琢速荧羡2.4.1平面向量数量
8、积2.4.1平面向量数量积,例4,醇倘卓童酣形署拷狗凑单僧砒靶量蘑南颧史嘲捂戍右堂畜存浩厂首应蕉铁2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,小结：,1.2.,可用来求向量的模,3.投影,齐职箍散尔掀库骸杠讨搁维涝括剑杏变咯朴滴公墙柔他俭雁漠挽别袜哉尸2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,作业：,弗空慌疙轧失烤校霉毁餐搜耶髓郧嚼杀驳闪锰复较笨歼七窜殉棋掘睡耸友2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,4、已知a、b都是非零向量，且a+3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解：（a+3 b）（7 a 5 b）（a 4 b）（7 a 2 b）（a+3 b）（7 a 5 b）=0 且（a 4 b）（7 a 2 b）=0 即 7a a+16 a b 15 b b=0 7a a-30 a b+8 b b=0 两式相减得：2 a b=b 2，,代入其中任一式中得:a 2=b 2,cos=,蔬抒化李雄哎愉尘滞筷色臃怒瘩锦变捍森昨槐叁砂敷笛久陷姜驹先栋闭闽2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,墙厢雏讥反忿裸侧鬃命茨堪血咀同单逆求乘燎叉卢凿厂鞠渡残洗咱引孺互2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,
