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1、(3.2)判断随机相位正弦波在均值意义下是否各态遍历。 ， ,A 是固定值，是随机变量，分布为均匀分布： ，其它为零。,解答：,该随机过程的时间平均为：,该随机过程的总体平均为：,因此该过程在均值意义下是各态遍历的。,(3.3)讨论相互独立、互不相关、相互正交的区别和联系。,解答：,随机变量统计独立的条件为：,互不相关的条件为：,正交的条件为：,对于一般的随机变量：统计独立则互不相关；当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相关和正交可以互相推导。对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零，则三者都能互相推导。,(3.4)输入序列xn的一阶概率密度函数是 。
2、证明： ；如 ，x1、x2都是具有上述分布的随机序列，求E(y)。,解答：,E（y）=E(2x1+4x2)=E(2x1)+E(4x2)=3,=0.5,3-5：已知平稳随机过程x的自相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有直流分量或周期性分量。,（）,（）,（）,因为,所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。,（）,因为,所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。,3-6：设x（t）是平稳过程， ，证明 y（t） 的
3、功率谱是：,其中,得证。,3-7：一个随机信号x1的自相关函数是 ，另一个随机信号x2的自相关函数为 ，在下列条件下，分别求信号相加后x=x1+x2的自相关函数 。（）x1，x2相互独立；（）x1，x2来自同一信号源，只是幅度差一个常数因子K（K不为1）：x2=Kx1。,（）x1，x2相互独立；,同理,（）x1，x2来自同一信号源，只是幅度差一个常数因子K（K不为1）：x2=Kx1。,由前面计算可得,第四章数字相关和卷积运算（Correlation and Convolution）,第一节 线性相关第二节 循环相关第三节 相干函数第四节 线卷第五节 循卷第六节相关函数和功率谱估计第七节相关技术
4、的应用,.线性相关（Linear Correlation）,定义:设有离散信号和，其线性相关函数为： (4-1),等于零表示两序列正交或者相互独立。线性相关运算的简洁表示为： (4-2),对应式(4-1)，令kmn，则nkm，得： (4-3),令kmn，则nkm，得： (4-5),和却是完全不同的： (4-4),2.相关的意义,x = randn(100,2); % uncorrelated datax(:,3) =x(:,1)+x(:,2); % introduce correlationplot(x);legend(1,2,3)r12=xcorr(x(:,1),x(:,2);r13=xco
5、rr(x(:,1),x(:,3);plot(-99:99,r12,-99:99,r13,r); legend(r12,r13),【例4-2】设 和 是有限长的序列，序列长度为N点，长度为M点，除区间之外皆为零，除区间之外皆为零，证明它们的线性相关函数的长度为MN1点，并且除区间之外皆为零。证明：按照题意，对于,的非零区间为,在此区间之外，和 的非零值互不重叠，故的值皆为零。,将上面两个不等式相加，可得,的非零区间为,对上式同时乘1则有,上式得到的长度为L=点，由题意知N，M因此,L1MN1，也就是线性相关函数的长度为MN1。,3.计算,与计算卷积相似:公式法表格法 图形法参看例题4-1程序法:
6、,设序列x,y长度为N点，除区间0N-1之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性相关：,计算得到一个2N1点长的行向量，也就是对应，m(N1)，（N1）。如果x和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后计算 .,.循环相关（Circular Correlation）,1.定义:,最后得到的循环相关序列的长度就是N点，m取0，1，2，N-1。,循环相关运算的简洁表示为：,2.意义,循环相关与离散功率谱是一对DFT变换对.如果信号是周期的则用循环相关估计更为准确.,clear;N=500;n=0:N-1;s=0.8*sin(pi/5*n);Rs=xcorr(s);rss=circlec
7、orr(s,s);rs=rss rss;plot(-499:499,Rs,-499:499,rs(1:999),r),3.计算,与计算卷积相似:公式法表格法 图形法参看例题4-3程序法:,设序列x,y长度为N点，除区间0N-1之外皆为零，用矩阵的形式来表达循环相关：,计算得到一个N点长的行向量，也就是对应，m=0，1，（N1）。如果x和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后计算 .,Matlab中的循环左移的函数circlel（）：function v=circlel(y) N=length(y); v=zeros(N,N); for i=1:N for j=1:N v(i
8、,j)=y(j); end L=y(1); for k=1:N-1 y(k)=y(k+1); end y(N)=L;end 计算过程：Vcirclel（y）；rx*V；,.相干函数（Coherent Function ）,设有两个离散信号和，为了比较这两个信号的相似程度，可以用常数乘上其中一个信号，使得两者之间误差能量最小，可以用最小二乘法来估计。令误差能量为，则有：,时域相干函数,使得误差能量最小，则有：,因而得到a以及最小误差能量：,以x的能量为基准，得到相对最小误差能量：,称为归一化相关系数，或者叫相干系数。在一个序列移动的情况下，相干系数就变成相干函数，它是m的函数，用表示：,令,【例
9、4-4】和是有限长的序列，1，0.1，1，0.1，0.1，1，0.1，1，求线性互相干函数和线性互相干系数。解：由例4-1知0.01，0，0.98，0，2.01，0，1，我们还需要求,110.10.1（1）（1）0.10.12.02,0.10.1110.10.1（1）（1）2.02,0.005，0，0.485，0，.995，0，0.495,【例4-6】随机产生32点长的序列 x和y，数据如下所示，计算它们的循环相关函数和循环相干函数。N32，n0，1，2，31。x的序列值：-0.4613 -1.4060 -0.3745 -0.4709 1.7513 0.7532 0.0650 -0.2928
10、0.0828 0.7662 2.2368 0.3269 0.8633 0.6794 0.5548 1.0016 1.2594 0.0442 -0.3141 0.2267 0.9967 1.2159 -0.5427 0.9122 -0.1721 -0.3360 0.5415 0.9321 -0.5703 -1.4986 -0.0503 0.5530y的序列值：0.0835 1.5775 -0.3308 0.7952 -0.7848 -1.2631 0.6667 -1.3926 -1.3006 -0.6050 -1.4886 0.5585 -0.2774 -1.2937 -0.8884 -0.98
11、65 -0.0716 -2.4146 -0.6943 -1.3914 0.3296 0.5985 0.1472 -0.1014 -2.6350 0.0281 -0.8763 -0.2655 -0.3276 -1.1582 0.5801 0.2398,解：m0，1，2，31，-8.3616 -8.4490 -4.7632 -14.8790 -10.2133 -8.9631 -3.3311 -0.2437 -6.0552 -8.3865 -1.9347 -0.5719 2.9056 -5.7073 -8.3077 -3.6703 0.9056 6.0135 0.8455 -7.4941 -3.63
12、28 0.1701 -0.6744 3.5639 -7.0097 -6.2179 -5.8643 -1.0161 -2.4329 -7.3548 -12.3369 -5.1030-0.2913 -0.2943 -0.1659 -0.5183 -0.3558 -0.3122 -0.1160 -0.0085 -0.2109 -0.2922 -0.0674 -0.0199 0.1012 -0.1988 -0.2894 -0.1279 0.0315 0.2095 0.0295 -0.2611 -0.1266 0.0059 -0.0235 0.1242 -0.2442 -0.2166 -0.2043 -
13、0.0354 -0.0848 -0.2562 -0.4298 -0.1778,如图4.3所示，相干函数都是在1，1的范围内。在Matlab中求线性相干函数则用：,2.频域相干函数,（Magnitude-Squared Coherent Function）,也称为幅值平方相干函数，设有两个信号，它们的幅值平方相干函数定义如下：,表示两个信号的互功率谱. 为各自的功率谱.,的取值范围为01之间.,=1, 说明两个信号是完全相干的，即一个信号可以完全由另外一个信号决定；,=0, 这两个信号不相干,即这两个信号是完全独立的；,在(01),说明这两个信号存在部分相干性,即非线性关系或者有外界的干扰存在。
14、,可见，频域相干函数可以从频域上表示两个信号各频率成分互相关联的程度。,【例4-7】设有两个信号 和 ,测量这两个信号时，假设含有了不相关的噪声 和 ,即测量得到的两个信号为 和 ,比较理想信号和测量信号的幅值相干函数。,解：设 和 的功率谱分别为 ,互功率谱 为 ,理想的相干函数为,设噪声的功率谱为 由于信号和噪声不相关，则噪声和信号的互相关函数为零,因此测量信号的功率谱和互功率谱为：,因此测量信号的幅值相干函数：,由于功率谱是非负的，因此上式满足,例4-7就是在有不相关噪声干扰下，频域相干函数将小于1。一般我们能得到的信号都是测量信号而非理想信号，因此要从测量信号的相干曲线来判断理想信号各
15、频率成分互相关联的程度。,【例4-8】设信号,假设观测时引入的噪声均为白噪声，它们的功率谱密度都为1；观测记录N10点，比较理想信号和观测值的幅值相干函数。,解：MATLAB程序如下：,N=10;n=0:N-1; x=N-1:-1:0;y=0:N-1;px=abs(fft(x).2/N; py=abs(fft(y).2/N;pxy=abs(conj(fft(x).*fft(y)/N).2;rxy=pxy./(px.*py);r=1./(1+1./px+1./py+1./(px.*py);figure(1); subplot(1,2,1); stem(n,px);xlabel(k);title(
16、x(n)功率谱)subplot(1,2,2);stem(n,py);xlabel(k);title(y(n)功率谱)figure(2);subplot(1,2,1);stem(n,rxy);xlabel(k);title(理想相干函数)subplot(1,2,2);stem(n,r);xlabel(k);title(有白噪干扰的相干函数),x和y信号的功率谱图,理想的和有干扰的频域相干函数,.线性卷积（Linear Convolution）,1. 定义,线性卷积运算的简洁表示为：,m取-（N-1），。0，1，2，N-1。,2. 意义线性卷积对应频域（DTFT）相乘.,3.计算,公式法表格法 图
17、形法参看例题4-10,4.9程序法:c=conv(x,y),用矩阵的形式来表达线性卷积,线性卷积和相关的关系：,检验： x=1:10; y=1:10; invy=fliplr(y);c=conv(x,invy);r=xcorr(x,y);c-rans = 1.0e-013 *-0.0711 0 0.0711 0.1421 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1421 0.0711 0 -0.0711,.循环卷积（Circular Convolution）,1. 定义：,由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是N点，m取0，1，2，N-1。,2.意义,循环卷积在频域是相乘（DF
18、T变换对）.,3.计算,公式法表格法 图形法参看例题4-11,4.12程序法:,用矩阵的形式来表达循环卷积：,计算得到一个N点长的行向量，也就是对应，m0，1，（N1）,下面给出Matlab中的循环右移的函数circler（）：function v=circler(y)N=length(y);v=zeros(N,N);for i=1:N for j=1:N v(i,j)=y(j); end L=y(N); for k=N:-1:2 y(k)=y(k-1); end y(1)=L; end v=v;给定序列x和y，计算过程：Vcircler（y）；rx*V；即可。如果和的长度不同，则把短的序列进
19、行补零，使得两者点长相同，然后计算同上。,第六节 相关函数和功率谱估计,估计一般有两类方法：参数估计，假设被估计者具有一定的解析式，估计其未知参数。非参数估计，对每一个延迟值都估计一个R（m）。相关函数的估计：直接法估计相关函数FFT法估计相关函数功率谱的估计：自相关法；2. 周期图法；3. 改进法,一、直接法估计相关函数,根据定义用有限样本来进行估计：,假设只有N个数据，估计公式为：,相关函数估计的质量：,偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。方差：估计的方差当N无穷时，趋于零。因此该估计法是一致估计。,2. 方差：证明高斯情况下估计的方差趋于零。,令lij，,当 l0，即ij，则共
20、有Nm项求和,当 l1，即ij1，则共有Nm1项求和,当 l Nm1 ，即ij Nm1 ，则只有1项求和,当 l （Nm1） ，即ij （Nm1） ，则也只有1项求和,总结有（Nml） 项求和,当N趋于无穷时上式将趋于零,二、FFT法估计相关函数,N较大时，把求相关转为求卷积：,三、自相关法估计功率谱,随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱。经典估计法：先估计相关函数，然后傅立叶变换；对信号傅立叶变换后求模平方。估计的方差特性不好，起伏剧烈，数据越长越严重。,实际计算时，先计算出2N-1个相关函数值，m从-（N-1）到N-1，把-（N-1）到-1移动到N-1后，然后对这些数据进行
21、FFT计算。,四、周期图法估计功率谱,周期图法和自相关法结果是一致的证明：定义,功率谱估计的质量,偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。方差：估计的方差当N无穷时，估计值不会趋于零。因此该估计法不是一致估计。,从时域上看，是相关函数乘以了三角窗函数，使得该估计为有偏估计；从频域看，真实功率谱被窗口谱所卷积。当N无穷时，窗口谱趋于冲击函数，所以是渐进无偏。为防止加窗造成的泄漏效应，窗口谱的主叶宽要小于真实谱中最窄峰宽B，即4pif/NB,观测点多点即可。,2. 方差：证明高斯情况下估计的方差在4x左右。,2. 方差：证明高斯情况下估计的方差在4x左右。,五、改进法估计功率谱,平均：对同一
22、随机过程做多次周期图法，再加以平均。平滑：加窗对单一功率谱估计加以平滑。Welch法：对改进的周期图法求均值，广泛使用Matlab中应用。psd.m估计的质量：均值是渐进无偏，方差是趋于零，是一致估计。,.7相关技术的应用 （Application of Correlation）,相关技术的应用基础、广泛，相关技术有自相关和互相关的不同，它们分别用自相关函数和互相关函数来定义。自相关函数用来研究信号本身，例如信号波形的同步性、周期性等；互相关函数用来研究两个信号的同一性程度;例如测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号，如果两个信号完全不同，则互相关函数接近于零，如果两个信号波形相同，则在提前
23、、滞后处出现峰值。,对于确定信号的自相关函数为：如果信号是随机的或周期的，其自相关函数定义为： (4-23),信号为正弦波的自相关函数设，周期为M，则自相关函数为,即，周期信号的自相关函数和原来的信号有同样的周期，,信号为白噪声的自相关函数设有一功率谱为的白噪声，则自相关函数为：利用上面的自相关函数性质，当观测信号中包含了周期信号和白噪声时，即如果信号和噪声互不相关，则自相关函数为：,当m足够大时，观测信号的自相关函数仍不为零，则表明在背景噪声中含有周期信号，并且可以估计出该信号的周期。,【例4-9】设有周期信号，噪声为随机产生的白噪信号，观测信号，这三个信号分别如图4.7所示，为了容易看出周
24、期性，这里把离散的点联成了曲线。分别画出这三个信号的自相关函数，并进行比较。(xiangguan.m)图4.7 三个时域信号,clear;N=500;n=0:N-1;w=randn(1,N);rww=xcorr(w,biased);s=0.8*sin(pi/5*n);rss=circlecorr(s,s);rss1=rss rss;rss2=rss1(1:2*N-1)/N;x=s+w;%rxx=rww+rss2;rxx=xcorr(x,biased);figure(1)subplot(3,1,1);plot(n,w);title(纯干扰w)subplot(3,1,2);plot(n,s);ti
25、tle(周期信号s)subplot(3,1,3);plot(n,x);title(包含周期信号的观测信号x),xlabel(n)figure(2)m=-(N-1):N-1;subplot(3,1,1);plot(m,rww);title(纯干扰信号的自相关函数rww)subplot(3,1,2);plot(m,rss2);title(周期信号的自相关函数rss)subplot(3,1,3);plot(m,rxx);title(观测信号的自相关函数rxx),xlabel(m),解：干扰信号的自相关计算可以直接调用函数xcorr()；周期信号的自相关函数计算要利用循环自相关方法来计算，调用语句前面
26、已经介绍了，要注意这时得到的相关点长只有N，把它周期化增加点长到2N1。观测信号的自相关计算可以直接调用函数xcorr()。结果如图4.8所示。,图4.9 观测信号的自相关函数m140260,【例4-10】设 它们的波形如图4.10所示。估计延迟。xiangx.m图4.10 两个相似信号波形,clear;N=20;n=0:N-1;m=4;x=exp(-0.05.*n).*cos(pi/6*n);subplot(2,1,1);stem(n,x);title(信号x);y=zeros(1,m) 1.2*x;ny=0:length(y)-1;subplot(2,1,2);stem(ny,y);title(信号y);xlabel(n)ryx=xcorr(y,x);nr=(-N+1-m):(N+m-1);figure(2)stem(nr,ryx);title(x,y的互相关函数);xlabel(m),解：观测到两个相似波形后，为了估计它们的延迟可以计算互相关函数，然后找到最大值，该值对应的m就是延迟。互相关函数调用函数xcorr()计算，结果如图4.11所示，明显当m4时，相关值最大，因此延迟4。,
