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1、2.2 等差数列,第二章 数列,第一课时,一、数列的定义，通项公式:,按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 , an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,二、数列的简单表示:,三、给出数列的方法:,复习,某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.,某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.,（观察以下数列）,引入,这三个数列有何共同特征,从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。,请尝
2、试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义,交流,1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。,（1）指出定义中的关键词：,从第2项起,等于同一个常数,由定义得等差数列的递推公式：,说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.,每一项与其前一项的差,探究,练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。,2、等差数列的通项公式,根据等差数列的定义得到,方法一：不完全归纳法,2、等差数列的通项公式,将所有等式相加得,
3、方法二累加法,例1 求等差数列8，5，2，的第20项. - 401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,解：,由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得 a20=8+(20-1) (-3)=-49.,由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.,例2 在等差数列an中，已知 a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .,这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差
4、，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？,1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；,2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.,结论,3等差中项,如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .,由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：,意义： 任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .,例3 （1）在等差数列an中，是否有 （2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？,4、等差数列通项公式的推广,解析：,由等差数列的通项公式得,
5、思考：已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一: 依题意得： a1+2d=9 a1+8d=3解之得 a1 =11 d =-1这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, a 3n = 12 3 n.,解法二：,1.等差数列an中，a1a510，a47，求数列an的公差,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= .,3.等差数列an的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.- D.,课本P40(A) 1、3、 (B) 2,作业,2.2 等差数列,第二章 数列,第二
6、课时,2、等差数列的通项公式,1、等差数列的定义,3、等差数列的中项,复习,通项公式的证明及推广,100与180,用一下,例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？,5、等差数列的通项及图象特征,解析:,思考,结论:,首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an 2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如：,性质 ：设 若 则,等差数列的性质,数列an是等差数列，m、n、p、qN+，且m+n=p+q，则a
7、m+an=ap+aq。,判断：,可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多,（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=,（3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8=,跟踪训练,（1）已知等差数列an中，,3.更一般的情形，an= ，d=,小结：,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等
8、差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,跟踪训练,300 83+5（n-1）500,巩固练习,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ ) A. 1 B. -1 C.- D.,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= .,(-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ),提示：,提示：,d=an+1- an=-4,3. 在等差数列an中a1=83，a4=98，则这个数列
9、有 多少项在300到500之间？,-35,提示：,n=45，46，84,40,例4,例5 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.,解：设三个数为a-d，a，a+d，则,解之得,故所求三数依次为2，4，6或6，4，2,例6 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？,3，7，11,a9=35,S9=1225,5、等差数列的性质,已知数列 为等差数列，那么有,性质1：若 成等差数列，则 成等差数列
10、.,证明：根据等差数列的定义，,即 成等差数列.,如 成等差数列， 成等差数列.,推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）,性质2：设 若 则,性质3：设 c, b 为常数，若数列 为等差数列，则数 列 及 为等差数列.,性质4：设 p, q 为常数，若数列 、 均为等差数列， 则数列 为等差数列.,例8,（1）已知等差数列an中， a3 a15=30,求a9， a7a11,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+
11、5, a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150,即a5=30,故a2a8 =2 a5=60, a7a11 =a3 a15=30, a3a7 =a4 a6=2 a5,（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12 =,（2）已知等差数列an中， a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=,2,（3）已知等差数列an中， a3 a5= 14, 2a2a6 = 15，则a8=,19,跟踪训练,例8,解：,（1）a9是a3和a15的等差中项,（2）已知等差数列an中， a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,（2）3+7=4+6=5+5, a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150,即a5=30,故a2a8 =2 a5=60, a7a11 =a3 a15=30, a3a7 =a4 a6=2 a5,
