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1、,第 六 讲 . 薛定谔方程的讨论 波包扩展的时间量级 我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时间量级 人： 亿年 尘粒： 万年 电子： 秒,波函数随时间的演化可用Green函数来实现。 格林函数的含义是： 时刻，粒子处于 ，则 时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就 是 ，即,B粒子数守恒 在非相对论的情况下，波函数应满足方程 这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。 若取,则 称为几率流密度矢。这即为几率守恒的微分形式。,C. 多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有 个粒子，质量分别为 ，所处的位势为 ，相互作用为 ，则其中,. 不含时间的薛定谔方程，定态问题 我们已介
2、绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关 。 （1） 不含时间的薛定谔方程 由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。,即H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为： 其中 方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。 根据态叠加原理,是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是 该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可 表为,通常称 （其中 ）为定态波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与t无关。否则与t有关。 （2）定态： A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数,B. 定态的性质：若体系Hamiltoni
3、an与t无关，则 1体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。,2几率流密度矢，不随时间变化。 3. 任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随时间变化。,4. 任何不显含 t 的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。,2.6 测不准关系 由于粒子应由态函数 来描述。因此，就不能像经典那样以每时刻 ， 来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一个值）。但是否仍能像经典那样在 处发现粒子具有动量 呢？,W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度 （即客体动量在这区域中的几率很大），我们
4、在同时，不可能预言它的位置比 更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似 这称为Heisenberg测不准关系。,应该注意：这是实验的结果; 当然也是波一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。 我们将从几个方面来论述它:（1）一些例子： A. 具有确定动量 （一维运动）的自由粒子， 是以 来描述，其几率密度,所以，对任何 处的相对几率都相同。也就是说，发现粒子在 区域中的几率都相同。所以， 的不准确度为 ，虽 ，但不违背测不准关系。 B如一个自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述。设：k很小， 变化很缓慢，可近似取为,所以，,这是具有一
5、定形状沿x方向传播的波包。波包的极大值位置为 ，所以它移动的速度 即粒子的速度，如前述称为群速度。在 时，位相为,在 时，位相也为 所以，位相传播速度 ，如前述称为相速度。 这个波包扩展度的区域不是任意小，即,于是有 所以要波包仅局限于空间一定区域，相应 的扩展度不可能任意小；当 的扩展度一定时，那波包的扩展度也不可能任意小。 （2）一些实验： A位置测量：一束电子平行地沿 方向入射，通过窄缝 ，从而测出 方向的位置。在 方向有一不确定度y=a，而人们认为,但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电 子数的多少显示出干 涉图象（电子数的大 小），这一单缝干涉 的第一极小为即通过单缝后，电子在 方
6、向的动量不再为 0，,而在0附近有一宽度 所以，当测量y的位置越精确（即a越小），那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要 满足 B用显微镜测量电子的位置：一束具有确定动量 的电子沿x轴运动。用显微镜观察被电子散射的光束来测量电子的位置。但成的像是一衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位,置的精度） 事实上，光子是一个个到达屏上（ ）,（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 因波粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。 用 来描述物质粒子时，它总可以表为由Fourier逆变换有,从Fourier变换理论知： 的扩展范围（即有意义的区域）和
7、它的富氏变换 所扩展的范围不能同时任意小。 几率解释态叠加原理给出了Fourier变换理论用在量子力学波函数时的物理含意。,（4）能量时间测不准关系 A能量时间测不准关系：在狭义相对论 中， ， 都看作四度矢，所以有 测不准关系，即推测 也应有。 当固定t时，有,现固定x，有 B能量时间测不准关系的物理含意 1在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔t，那该体系的能量必有一扩 展度E，且有 。,例如：若一个自由粒子的波包宽 ，它通过 所需时间 。所以，在间隔 内，都有可能在 处发现粒子。由 所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确定值，而是有一扩展度。,2体系几率分布发生大的改变需时间t，
8、那体系的能量不确定度为 ，使 例1：定态：其几率分布不随时间变，所以要使这一分布发生变化，则要求 ，所以 （即具有确定能量）。 例2：若体系的波函数为,所以几率分布在 和 之间振荡，振荡周期 。所以体系几率分布发生明显变化的时间间隔 ， 即 。,3若体系能量有一不确定度E，体系保持不变的平均时间不小于 例：不稳定体系的能级有一定宽度 ，所以，平均寿命 。 （5）一些应用举例：测不准关系可用作一些 问题的数量级的估计 A类氢离子的基态能量估计： 设：类氢离子的电子轨道半径为 r（在一,平面中），所以，不确定度 。因此 ，于是， 由 所以，,B. 考虑重力下粒子的“静止” 现作一简单的估计: 经典
9、“基态”是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度 ，动量也有一不确定度 。所以， ，,所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于量子粒子则为 i.尘粒： , ; ii. 电子： 。 C. 介子质量的预言 核子与介子场相互作用而导致与另一核子作用。如核力是通过核子交换新的量子（介子）来实现。若该介子的静止质量为，则核子在发射前后有一能量不确定度（改变），,i.,其最小的值为 。因此时间有一（最大）不确定度（由于动能改变没计入，所以能量改变以最小估计。因而时间不确定度，即体系保持不变的平均时间是最大估计）即 的范围内的任何时间发射介子都有较大的几率。可在这一段时间内，任一时间发射，可移动的最大距离
10、或在最远处而被,另一核子吸收（下一时刻将发射另一介子），所以二核子交换一个介子的相互作用的最大力程（即介子的康普顿波长的 ）。实验测得核力力程为1.4fm。所以，,即得 （实验值为139MeV） 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响。,第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。,3.1一般性质 设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为 ，于是有 （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是
11、不简并的。 简并度（degeneracy）：一个力学量的某个测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一 测量值是具有n 重简并度。,如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 , 是具有同样能量的波函数 (1) (2),从而得 于是 (c是与 x 无关的常数)对于束缚态 （或在有限区域有某值使 ），所以 c0。从而有,若 不是处处为零，则有应当注意: . 分立能级是不简并的，而对于连续谱时，,若一端 ，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。 当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。（因
12、常数c0）。 当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致 处处为零。,推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可 保留一相因子）。 证 令 （ 都是实函数）则,但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而 Rn 和 In 应是线性相关的，所以 因此，,（2）不同的分立能级的波函数是正交的。 （1） （2）,所以 从而证明得 。（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使 ，不包括边界点或远）。,所以 从而证明得 。,基态无节点（当然处处不为零的波函数没有这性质，如 （它是简并的），同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质） （4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论有有限大小的间断点，由方程即,由于 存在，即 存在，即 的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？设,令 , 所以， 得解,要求波函数有界，所以C0，要求波函数x=0处连续，且导数连续 当E给定，所以， ,于是，当 , 方程有解 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢总是连续的。,3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题,
