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3 收敛定理的证明,本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先,证明两个预备定理.,预备定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数 f 在,上可积,则,式.,返回,证 令,考察积分,由于,根据傅里叶系数公式(1(10)可得,将(3),(4)代入(2),可得,因而,所以正项级数,的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.,推论1 若 f 为可积函数,则,这个推论称为黎曼勒贝格定理.,推论2 若 f 为可积函数,则,证 由于,所以,其中,左边的极限为零.,同样可以证明,显见 与 和 f 一样在 上可积.由推论1,(7),当 t=0 时,被积函数中的不定式由极限,来确定.,证 在傅里叶级数部分和,中,用傅里叶系数公式代入,可得,分,再由第十二章3 的(21)式,即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为 的函数,这就得到,(8)式也称为 f 的傅里叶级数部分和的积分表达式.,现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:,于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即,证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:,即,或证明同时有,与,先证明(10)式.对(9)式积分后得到,又得到,从而(10)式可改写为,令,由1,(13)式得到,所以 在 上可积.根据预备定理1和推论2,这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.,用同样方法可证(11)也成立.,