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1、相交线与平行线,166中学 孙梅,教学内容分析,课程目标,课时安排,本章教学建议,相交线与平行线构成了平面内两条直线的位置关系,是“空间与图形”所要研究的基本问题.学生在七年级上学期学习了线段和角，并且在小学阶段结合生活情境对平面内两条直线位置关系有所了解，在此基础上本章将继续结合生活实际,以直观认识为基础进一步研究平面内两条直线的位置关系.,一、教学内容分析,本章知识结构框图,知识层面：,一、教学内容分析,知识层面：,一、教学内容分析,与相交线、平行线有关的角包括:邻补角的概念，对顶角的概念和性质，同位角、内错角、同旁内角的概念；垂线的概念和性质，点到直线的距离；平行线的概念,平行公理及其推
2、论，平行线的判定和性质；命题、定理和证明相关内容；平移及其基本特征,让学生体会从一般到特殊的认识规律；（如：两条直线相交 垂直）让学生体会从位置关系和数量关系两方面去研究几何图形；图形、文字、符号三种语言的转化 逐步深入的让学生学会简单推理,发展推理能力,思想和方法层面：,一、教学内容分析,教学重点和难点,重点,垂线的概念和性质；平行线的判定和性质,难点,学会简单推理,发展推理能力,一、教学内容分析,相交线,理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离；,掌握基本事实：过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；,理解对顶角、邻补角
3、的概念，识别同位角、内错角、同旁内角,探索并掌握对顶角相等的性质；,二、课程目标,平行线及其判定、性质,理解平行线概念,能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线;,掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；掌握基本事实：同位角相等，两直线平行；掌握平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等；,了解平行于同一条直线的两条直线平行；,探索并证明平行线的判定定理：内错角相等（或同旁内角相等），两直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等（或同旁内角相等）.,命题、定理、证明,通过具体实例了解命题、定理、证明的意义，会区分命题的题设和结论；,知道证明的意义和证明的
4、必要性，知道证明要合乎逻辑；,了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.,平移,通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；,认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；,运用图形的平移进行图案设计,51 相交线 4课时52 平行线及其判定 3课时53 平行线的性质 4课时54 平移 2课时数学活动小结 2课时,三、课时安排,共14课时,一、构建知识体系，寻找新的增长点,四、具体教学建议,1.本章教学是在学生已有知识基础之上进行教学，在进行教学之前应关注学生已有的知识基础是什么，小学具体学过了什么.,四年级
5、上,结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系；垂直的概念；平行线的概念,以前学过什么？,四年级上,用三角尺画一条直线的垂线；点到直线的距离,以前学过什么？,四年级上,用直尺和三角尺画已知直线的平行线；平行线之间的距离处处相等,以前学过什么？,二年级下,第3单元图形与变换,在“图形与变换”单元安排了认识简单的图形平移与旋转,学生学会对一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移的方法，初步感受变换的数学思想方法。,以前学过什么？,以前学过什么？,二年级下,第3单元图形与变换,结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系；垂直的概念，用三角尺过一点画一条直线的垂线，点到直线
6、的距离；平行线的概念，用直尺和三角尺画已知直线的平行线，平行线之间的距离处处相等,与相交线、平行线有关的角包括邻补角的概念，对顶角的概念和性质，同位角、内错角、同旁内角的概念；垂线的概念和性质，点到直线的距离；平行线的概念,平行公理及其推论，平行线的判定和性质；命题、定理和证明相关内容；平移及其基本特征,以前学过什么?,本章要学什么?,在方格纸上认识图形的平移，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单的图形平移；能从平移的角度欣赏生活中的图案，并运用平移在方格纸上设计简单的图案,四、具体教学建议,2.除了关注“之前”和本章知识的联系，认真分析本章的内容，还要注意“之后”的发展，对知识体系有整体把握,
7、一、构建知识体系，寻找新的增长点,关于位置关系,四、具体教学建议,关于命题、定理、证明,关于平移,一、构建知识体系，寻找新的增长点,关于位置关系,关于位置关系,结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系,-小学,-七年级下,关于位置关系,继续研究平面上两条直线的位置关系，学会从数量和位置两方面去研究几何图形，用文字、符号和图形语言去描述几何关系，发展推理能力,第2章 点、直线、平面之间的位置关系,以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系,关于位置关系,-高一必修2,关于命题、定理、证明,-七年级下,命题的概念、构成、真假，定理的概念判断真命题的推理过程-证明
8、判断假命题的常用方法举反例,勾股定理,结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立,关于命题、定理、证明,-八年级下,通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法，并证明了“两直线平行，同位角相等”,课标：了解平行线性质定理的证明（参见例59）,圆,关于命题、定理、证明,-九年级上,第1章 常用逻辑用语,命题的概念、构成及真假；四种命题（原命题，逆命题，否命题，逆否命题）及真假性之间的关系,关于命题、定理、证明,-高二选修1-1,第3单元 图形与变换,在“图形与变换”单元安排了认识简单的图形的平移，学生学会对一个简单图形沿水平方
9、向、竖直方向平移的方法。,关于平移,-二年级下,“数”,“形”,从“形”到“数”，从感性到理性逐步加深对平移的认识,关于平移,-初中,四、具体教学建议,3.在学生已有知识基础之上进行教学，寻找新的增长点,一、构建知识体系，寻找新的增长点,举例：关于垂直的教学,垂直的概念,结合生活情境了解了两条直线的垂直关系；,小学,初一,文字语言描述垂直概念,结合相交线的模型对垂直进行说明，让学生体会相交与垂直的关系，体会从一般到特殊的认识规律；,增加垂直的符号语言和图形语言表示，从不同角度认识垂直,给出了用垂直概念时常见的推理形式，为学生养成言必有据的习惯和学会表达推理过程打下基础,进一步结合生活实例让学生
10、 理解垂直关系,垂线的画法,用三角尺画已知直线的垂线,小学,初一,复习垂线的画法的同时，让学生思考画图的依据-垂直定义，不仅会动手，还要懂依据,利用课后习题让学生体会利用折纸的办法找到已知直线的垂线，训练学生的动手操作能力和思维的灵活性,为了后面的学习，增加画已知射线和线段的垂线,点到直线的距离,通过画图、度量体会“垂线段”最短“，从而得到点到直线距离的概念,小学,初一,通过将实际问题抽象成几何图形，经过操作探究得到垂线的性质2-“垂线段最短”，并以此为根据得出点到直线的距离定义,除了在生活中的应用，让学生从位置关系和数量关系的角度体会引入点到直线距离的必要性,通过解决实际问题，让学生体会点到
11、直线的距离的应用,1.借助于教具、模型、实物、图形等手段，加强直观教学，让学生通过直观感知和动手操作进行抽象的概念学习,二、加强直观教学，密切联系实际,四、具体教学建议,利用剪刀的例子引入两条相交直线所成角的问题，借助实物的动态变化发现不变的性质（对顶角的性质）,利用木条构造模型，动手操作，感受直线的相交及特殊情况垂直，感受直线的平行,让学生在运动变化中寻找图形不变的位置关系和数量关系，帮助发现图形性质,2.密切联系实际，体现知识的形成过程，以实际问题作为出发点和归宿,二、加强直观教学，密切联系实际,学习了垂直和平行的概念后，联系生活实例，巩固对概念的感知和理解,把灌溉挖渠的实际问题抽象成数学
12、问题，引入垂线段最短的性质，引出点到直线的距离，之后再学以致用解决实际问题,课后习题紧密联系生活实际,对顶角性质,点到直线的距离,习题5.1,课后习题紧密联系生活实际,平行线的判定,习题5.2,习题5.3,平行线的性质,习题5.3,平移,习题5.4,三、重视知识的探究过程，关注学生能力的增长点,四、具体教学建议,关于对顶角性质的教学：,通过探索活动发现结论,三、重视知识的探究过程，关注学生能力的增长点,四、具体教学建议,对结论进行解释或论证,关于对顶角性质的教学：,由实验几何到论证几何过渡做好铺垫，把推理和证明作为探究得出结论的自然延续，让学生体验了研究几何问题的流程和一般方法，,通过探索活动
13、发现结论,三、重视知识的探究过程，关注学生能力的增长点,四、具体教学建议,关于平行线判定和性质的教学：,判定,画平行线,平行线判定方法1,平行线判定方法2、3,性质,经过简单推理,类比判定，通过操作探究,平行线性质1,平行线性质2、3,经过简单推理,由实验几何到论证几何过渡做好铺垫，把推理和证明作为探究得出结论的自然延续，让学生体验了研究几何问题的流程和一般方法，,三、重视知识的探究过程，关注学生能力的增长点,四、具体教学建议,关于平行线判定和性质的教学：,平行线的判定和性质是平面几何的一个重要内容，是第一次从判定和性质来研究几何对象，体现了对几何对象研究的两个方面，对今后研究其他图形的判定和
14、性质奠定了基础并起到了示范作用,四、循序渐进的安排技能训练,四、具体教学建议,1.重视文字、图形、符号语言的相互转化，注意“几何模型图形文字符号”这个抽象的过程，使抽象和直观相结合，引导学生体会图形与语言的对应关系，在图形的基础上发展其他语言,强调：,本章的图形比以往要复杂了许多，要以概念为依据训练学生在图形中识别与相交线和平行线有关的角，训练学生的识图能力.,只有认准，才可能用对！,四、循序渐进的安排技能训练,四、具体教学建议,2.结合知识的学习，将识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”，发展学生的推理能力,由什么,根据什么,得出什么,对对顶角性质的推理,三段论,垂直的定义,
15、对平行线判定2、3的推理,为降低难度，没有采用“已知求证证明”形式逻辑格式，重点是训练学生言之有据的习惯并逐步学会表达推理过程,由什么,根据什么,得出什么,三段论,采用严格的证明形式，在推理过程中第一次用“”、“”符号，逐步渗透用符号语言表达推理过程,证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条,采用“已知求证证明”的形式逻辑格式，让学生体会什么是证明以及证明过程要步步有据。,教学中把握好证明的教学要求，即要求学生知道什么是证明，能在给出的推理过程中，填出一些关键步骤和理由，不要求学生写出完整的证明过程,习题5.3,五、体会数量与位置之间的内在联系,四、具
16、体教学建议,平行线的判定,数量关系,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,两直线平行,平行线的性质,位置关系,五、体会数量与位置之间的内在联系,四、具体教学建议,六、注意习题的拓展，通过一题多解、一题多变训练学生思维的灵活性,四、具体教学建议,习题5.3 7（2）,如图，如果ABCDEF，那么BAC+ACE+CEF=()A.180B.270C.360D.540,变式1：如图，已知ABEF，那么BAC+ACE+CEF=_,D,D,B,变式1：如图，已知ABEF，那么BAC+ACE+CEF=_,G,D,M,H,变式2：增加平行线间点的个数，发现上述哪种辅助线的添法是具有普适性、可推广如图，已知AB
17、EF，那么BAC+ACM+CMN+MNE+NEF=_,720,过所有折点作平行线是一种通法,变式3：（1）如图（1），ABEF，BAC，ACM，CME，MEF有什么数量关系？,（2）如图（2），ABEF，BAC，ACM，CMN，MNE，NEF有什么数量关系？,M,N,图（1）,图（2）,D,E,D,E,F,过所有折点作平行线是一种通法,（2）如图（2），ABEF，BAC，ACM，CMN，MNE，NEF有什么数量关系？,M,N,图（2）,D,E,F,BAC+ACM+(360-CMN)+MNE+NEF=720,BAC+ACM-CMN+MNE+NEF=360,变式3：改变C点位置，渗透分类讨论思想
18、已知：ABEF，点E为平面上不在直线AB、EF上的任意一点，那么BAC，ACE，CEF有什么数量关系？说明理由,BAC+ACE+CEF=360,ACE=BAC+CEF,BAC=ACE+CEF,CEF=BAC+ACE,当点C在平行线之间,当点C在平行线两侧,变式4：应用问题如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，第一次拐的角A是120，第二次拐的角B是150，如果第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐完之前的道路平行，问C是多少度？,C=180-（150-120）=150,“平行线间的折线问题”小结：（1）添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线；（2）处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行线是一种通法（3）添加辅助线，构造三角形，应用三角形内角和定理，也是一种“转化”的数学思想,
