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1、求数列的通项公式,通项公式：如果数列an的前n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,即 注意：1.通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；2.通项公式以数列的项数n为唯一变量；3.并非每个数列都存在通项公式.,例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，观察数列特征，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,解：an=10n1,(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系有 101，10
2、21，1031，1041,解：an=(10n1),这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,联系,练习：,二、公式法：(1)等差数列通项公式：(2)等比数列通项公式：例如：(1)(2),三、定义法：,运用,例2.an的前项和Sn=2n21，求通项an,解：当n2时，an=SnSn1=(2n21)2(n1)21=4n2,当n=1时,a1=1,不满足上式,变式.已知an中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项an,解:a1+2a2+3a3+nan=3n+1(n1),a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）,nan
3、=3n+13n=23n,而n=1时,a1=9,（n2）,两式相减得：,例3.,例4.,例5.已知an中,an+1=an+n(nN*),a1=1,求通项an,解:由an+1=an+n(nN*)得,an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1=(n 1)+(n 2)+2+1+1,四、累加法,(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列),n个等式相加得,an+1 an=n(nN*),（1）注意讨论首项;,(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式,求法：累加法,练习：,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),例6.已知an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an
4、+1annan2=0,求an的通项公式,解:(n+1)an+12+an+1annan2=0,(an+1+an)(n+1)an+1 nan=0,an+1+an0,(n1),an=.,(n+1)an+1=nan,练习1：,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),练习2,五、累乘法(形如an+1=f(n)an型),六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7.已知，根据条件,确定数列 的通项公式.,方法：猜想证明：由 及,计算出,归纳猜想：;,然后用数学归纳法证明猜想正确(略).,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以
5、及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7.已知，根据条件,确定数列 的通项公式.,方法迭代法：。,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,例7.已知，根据条件,确定数列 的通项公式.,方法构造法：根据 构造一个新数列 设，则，即，为等比数列，首项为，公比为 3.，.,六、构造法,题型1.已知数列an的首项,以及满足条件an+1=pan+q（p、q为常数）时，求该数列的通项公式.,方法总结：利用待定系数法令 an+=p(an-1+),得到,从而构造出等比数列,辅助求出an的通项公式,六、
6、构造法,例8.已知数列 中，,3,4，,六、构造法,例8.已知数列 中，,3,4，,六、构造法,【变式迁移】,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.,解：（1）方法1：（构造法）因为a15且an2an12n1，所以当n2时，an12（an11）2n，所以，所以，,所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an（n1）2n1.,已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式.,【变式迁移】,例10：,题型4,形如 的递推式，可采用取倒数方法转化成为,形如 的递推式,例11：,题型5,题型6 取对数法：例12 若数列 中=3且（n是正整数），则它的通项公式是（2012年上海高考题）.,
