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1、第五节 无约束极值与有约束极值,正确理解无约束极值和条件极值的概念。能熟练地求出函数的无约束极值。能熟练地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。能熟练地计算函数的最大值、最小值。能解简单的极值应用问题。,本节教学要求：,第四章 多元函数微分学的应用,第五节 多元函数的极值,多元函数的极值,无约束极值,有约束极值,变量替代法,拉格朗日乘数法,无约束极值的形式,目标函数：,表现形式：,一.无约束极值,称为函数的极大点(极小点).,函数的极大值和极小值统称为函数的极值.,极大值和极小值的定义,例,现在对已有的结果进行分析,看能否得到一点什么.,进行分析：,上半单位球面,进行分析：,上半空间中的圆锥面,将以
2、上对两例的分析与极值的定义综合起来,你能得出什么样的结论？,如果偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零.,使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点.,定理,处取极值,则必有,（二元可微函数取极值的必要条件）,处的切平面方程为,由可微函数取极值的必要条件：,此时,切平面平行于 xy 平面.,下面看看函数极值的几何意义,故切平面方程实际为,定理,处取极值,则必有,（n 元可微函数取极值的必要条件）,函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点.,函数在其极值可疑点处,可能取极值,也可能不取极值.,这就产生了一个问题:如何判断函数在极值可疑点处是否取极值.,定理,(二元可微函数的极
3、值判别法),记,设,解,联立方程组,求驻点:,解之得驻点,又,故,确定函数,的极值点。,求由方程,所确定的隐函数 的极值。,上的最大值和最小值.,函数的最大值和最小值,求函数最大值和最小值的基本原则,例,距离之平方和为最大及最小的点.,解,所求距离之平方和为,所讨论的问题归结为下面的优化问题:,区域:,目标函数:,最值问题:,的一般步骤为：,将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值),进行比较,即可得出函数的最大、最小值.,由方程组,区域:,目标函数:,最值问题:,由一元函数求极值的方法,得驻点：,函数值：,区域:,目标函数:,最值问题:,由一元函数求极值的方法,得驻点：,函数值：,区域:,目
4、标函数:,最值问题:,由一元函数求极值的方法,得驻点：,函数值：,区域:,目标函数:,最值问题:,边界上端点值：,区域:,目标函数:,最值问题:,所求最值点为：,区域:,目标函数:,最值问题:,例,求内接于半径为 a 的球且有,最大体积的长方体.,球面,解,选择坐标系,使球心,位于坐标原点,则球面方,程为,设所求长方体在第一,卦限中的顶点为,则长方体的三个棱边长是,长方体体积为,原问题归结为下面的优化问题:,由,解之得,由,解之得,在例题中,出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了.,什么问题?,这就是对目标函数的约束,应满足方程,对自变量附加一定条件的极值问题就,是有约束极值问题.
5、,例如,上面讲的求球内接体积最大的,长方体的问题,就是一个有约束的极值问,题:长方体顶点必须位于球面上,其坐标,x 2+y 2+z 2=a 2.,三.有约束极值（条件极值）,二.有约束极值（条件极值）,有约束极值(条件极值)的定义,极大值(或极小值).,这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.,这里的约束称为 等式约束.,有约束极值,带等式约束的极值,带其它约束的极值,无约束极值,转化,有约束极值的形式,目标函数：,表现形式：,有约束极值,无约束极值,拉格朗日乘数法,变量替代法,变量替代法,例,现需用钢板制造容积为2 m3 的有盖的长方,体水箱，问当长、宽、高各为多少时用料最省？,解,设长方
6、体的长、宽、高分别为,则,问题归结为下列有约束极值问题：,由约束条件,得,代入目标函数,中，使问题转化为下列无约束极值问题：,令,唯一的驻点：,当水箱的长、宽、高均为,时，用料,最省。,故,运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式.,自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法.,拉格朗日乘数法,拉格朗日函数,为该极值问题的拉格朗日函数,称为拉格朗日,乘数.,转化为拉格朗日函数的无条件极值问题,拉格朗日乘数法,求解,构造拉格朗日函数,由取极值的必要条件,解方程组,驻点,进行判别,这部分确定隐函数关系,这部分确定变量 xi 与i 间的关系,例,
7、下的极小值,并证明此时不等式成立：,其中,x、y、z、a 0为实数.,解,作拉格朗日函数,令,代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点,由前三式得,从而,将它代入最后一式,得到拉格朗日函数的驻点：,该驻点是否为原函数的极值点?,应该怎么进行判断?,设方程,确定隐函数,则可令,从而,故函数 F(x,y)在点(3a,3a)处取极小值,这等价于函数 f(x,y,z)在(3a,3a,3a),取极小值,下面证明不等式：,的唯一(条件)极小值点,故在,中有,即有,由 x、y、z、a 0 的任意性,即可得,证明已完成 看看还有没有附带的产物,由 x、y、z、a 0 的任意性,即可得,将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：,几何平均值,算术平均值,己知三角形的周长为2p,将它绕其一边旋转,而构成一立体，求使立体体积最大的那个,三角形各边长。,
