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1、第2课时等差数列的性质,【知识提炼】1.等差数列的项与序号的关系,(n-m)d,am+an=ap+aq,2.等差数列的对称性在有穷等差数列an中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1+an=_=_=,a2+an-1,a3+an-2,3.等差数列的“子数列”的性质已知一个无穷等差数列an的首项为a1，公差为d，(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为_，公差为_的等差数列.(2)奇数项数列a2n-1是公差为_的等差数列.偶数项数列a2n是公差为_的等差数列.(3)若数列kn是等差数列，则数列 也是等差数列.,am+1,d,2d,2d,4.等差数列的单调性等差数列an的公
2、差为d，(1)当d0时，数列an为_数列.(2)当d0时，数列an为_数列.(3)当d=0时，数列an为_数列.,递增,递减,常,【即时小测】1.判断(1)若数列an为等差数列，则an+1=an-1+2d，n1，且nN*.()(2)若an为等差数列，且m+n=p(m，n，pN*)，则am+an=ap.(),(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍.(),【解析】(1)正确.由等差数列中任意两项的关系知an+1=an-1+2d.(2)错误.因为am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，m+n=p，所以am+an=2a1+(m+n-2)d=2a1+
3、(p-2)d，又因为ap=a1+(p-1)d，所以要使am+an=ap，还须有a1+(p-1)d=2a1+(p-2)d，即a1=d.,所以若an为等差数列，且m+n=p(m，n，pN*)，则am+an=ap不一定成立.(3)正确.根据等差数列的定义可以判定.答案：(1)(2)(3),2.等差数列a1，a2，a3，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，5an是()A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列C.非等差数列 D.以上都不对【解析】选B.5an+1-5an=5(an+1-an)=5d，nN*.所以5a1，5a2，5a3，5an是公差为5d的等差数列.,3.等差数列an中，
4、a100=120，a90=100，则公差d等于()A.2B.20C.100D.不确定【解析】选A.因为a100-a90=10d，所以10d=120-100=20，所以d=2.,4.等差数列an中，a2=5，a6=33，则a3+a5=_【解析】由等差数列的性质可得a3+a5=a2+a6=5+33=38.答案：38,5.已知递增的等差数列an满足a1=1，a3=a22-4，则an=_.,【解析】设等差数列的公差为d，因为a3=a22-4，所以1+2d=(1+d)2-4，解得d2=4，即d=2.由于该数列为递增数列，故d=2.所以an=1+(n-1)2=2n-1.答案：2n-1,【知识探究】知识点1
5、 等差数列通项公式的推广观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：等差数列通项公式的推广形式是什么？如何证明？问题2：等差数列通项公式的推广形式的几何意义是什么？,【总结提升】等差数列通项公式的推广形式(1)公式的证明设等差数列an的公差为d，则an=a1+(n-1)d，am=a1+(m-1)d，两式相减得an-am=(n-m)d，即an=am+(n-m)d.,(2)公式的理解等差数列an的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(mn)，类比直线的斜率公式可知公差,知识点2 等差数列的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：如何证明上图中的性质1？问题2
6、：等差数列还有哪些常用结论？,【总结提升】1.等差数列中四项关系的性质及证明(1)若等差数列an中，m，n，p，qN*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.证明：设等差数列an的公差为d，am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.(2)若am+an=ap+aq，则m+n=p+q不一定成立.例如，公差为0时，总有am+an=ap+aq，m+n=p+q不一定成立.,2.等差数列几个常用的结论若an是公差为d的等差数列，则下列数列：
7、(1)c+an(c为任一常数)是公差为d的等差数列.(2)can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列.(3)ank(kN*)是公差为kd的等差数列.,【题型探究】类型一 等差数列中任意两项关系的应用【典例】1.(2015邢台高一检测)数列an中，a3=2，a7=1，又数列 是公差为d的等差数列，则a8=()A.B.0C.D.-1,2.数列an是公差为-2的等差数列，且a1+a4+a7+a28=100，求a3+a6+a9+a30的值.,【解题探究】1.典例1中，等差数列 的公差如何计算？要求a8须先求什么？提示：由a3=2，a7=1可求等差数列 的第3项和第7项，进而求出4倍的公差.要求a8须
8、先求,2.典例2中，a1+a4+a7+a28与a3+a6+a9+a30的项数有什么关系？取值有什么关系？提示：a1+a4+a7+a28与a3+a6+a9+a30的项数相同，都是10项.a3+a6+a9+a30=a1+a4+a7+a28+20d.,【解析】1.选A.因为 所以所以所以an=.所以a8=,2.因为数列an是公差d=-2的等差数列，所以a3+a6+a9+a30=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a28+2d)=(a1+a4+a7+a28)+2d10=100+(-2)20=60.,【方法技巧】1.运用等差数列任意两项的关系可解决的两类问题(1)在已知公差的情况下，由等差
9、数列的某项求其他任意项.(2)由等差数列的任意不同两项计算公差.,2.关注多项相加式之间的关系(1)等差数列an的相邻k项的和仍为等差数列，如a1+a2，a2+a3，a3+a4，an-1+an，成等差数列；a1+a2，a3+a4，a5+a6，an+an+1，成等差数列；a1+a2+am，a2+a3+am+1，a3+a4+am+2，ak+ak+1+ak+m-1成等差数列等.,(2)注意分析等差数列两个k项的和之间的关系，如a3+a6+a9+a30与a1+a4+a7+a28同为10项的和，a3+a6+a9+a30=(a1+a4+a7+a28)+2d10.,【变式训练】1.等差数列an中，am+n=
10、，am-n=，则其公差d的值为(),【解析】选B.由题意得am+n=a1+(m+n-1)d=，am-n=a1+(m-n-1)d=，两式相减得2nd=-，所以d=,2.数列an是等差数列，ap=q，aq=p(p，qN*，且pq)，求ap+q.【解题指南】此题关键是求出公差d，然后利用an=am+(n-m)d，就可求ap+q了.,【解析】方法一：设公差为d，则有所以ap+q=ap+(p+q)-pd=q-q=0.,方法二：设公差为d，则由-，得q-p=(p-q)d.所以d=-1，a1=p+q-1.所以ap+q=a1+(p+q-1)(-1)=p+q-1-p-q+1=0.,类型二 等差数列性质的应用【典
11、例】1.(2015陇南高二检测)已知an，bn是两个等差数列，其中a1=3，b1=-3，且a19-b19=16，那么a10-b10的值为()A.-6 B.6 C.0 D.11,2.(2015广东高考)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=_.3.已知等差数列an中，a5+a6+a7=15，a5a6a7=45，求数列an的通项公式.,【解题探究】1.典例1中，数列an-bn是等差数列吗？a1-b1，a10-b10，a19-b19之间有什么关系？提示：数列an-bn是等差数列.(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10).,2.典例2中，观察a3+a4+
12、a5+a6+a7与a2+a8项的序号，可由等差数列的性质得到什么结论？提示：a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.,3.典例3中，可先计算出a5，a6，a7的哪一项？另外两项的值如何计算？提示：可先计算出a6，另外两项的值可列方程组进行计算.,【解析】1.选D.因为an，bn是两个等差数列，所以an-bn是等差数列，所以(a1-b1)+(a19-b19)=2(a10-b10)，又因为a1-b1=3-(-3)=6，a19-b19=16，所以2(a10-b10)=6+16=22，故a10-b10=11.,2.因为an是等差数列，所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5
13、+a6+a7=5a5=25，解得a5=5，所以a2+a8=2a5=10.答案：10,3.因为a5+a6+a7=15，所以3a6=15，a6=5.所以 解得 或当a5=1，a7=9时，d=4，通项公式an=a5+(n-5)d=1+(n-5)4=4n-19；当a5=9，a7=1时，d=-4，通项公式an=9+(n-5)(-4)=-4n+29.,【延伸探究】若典例1中将条件改为等差数列an，bn满足a3+b3=13，a5+b5=25，试求a7+b7.【解析】设cn=an+bn，由题意知新数列cn仍为等差数列，且c3=13，c5=25，又因为2c5=c3+c7，所以c7=2c5-c3=225-13=3
14、7，即a7+b7=37.,【方法技巧】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，rN*)，则am+an=ap+aq=2ar.,【变式训练】已知数列an为等差数列，且满足a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+a14=77，ak=13，求k的值.,【解析】因为a4+a10=2a7，a4+a14=a5+a13=a6+a12=a7+a11=a8+a10=2a9，所以3a7=17，11a9=77，所以a7=，a9=7.则等差数列an的公差d=所以，a
15、n=a9+(n-9)=n+1，所以ak=k+1=13，所以k=18.,【补偿训练】已知等差数列an，(1)若a1+a5+a9=6，求a5.(2)若a7+a8+a22+a23=28，a7a23=40，求公差d.【解析】(1)因为a1+a9=2a5，所以a1+a5+a9=3a5=6，所以a5=2.,(2)因为a7+a23=a8+a22，所以a7+a8+a22+a23=2(a7+a23)=28.解得a7+a23=14.又已知a7a23=40，联立解得a7=4，a23=10或a7=10，a23=4.,当a7=4，a23=10时，d=当a7=10，a23=4时，d=所以公差d为 或-.,类型三 等差数列
16、的设法与求解【典例】(2015中山高二检测)三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为-24，求这三个数.【解题探究】本例中，列方程组计算三个数时，如何设三个数可以使运算更加方便？提示：可设所求三个数为a-d，a，a+d.,【解析】设这三个数为：a-d，a，a+d，依题意得：解得 或所以所求三数为：-2，2，6或6，2，-2.,【延伸探究】1.(变换条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.,【解析】设所求三个数依次为a-d，a，a+d(d0)，根据题意得到方程组(a-d)+a+(a+d)=18，(a-d)2+a2+(a+d)2=
17、116.由得a=6.将a=6代入，得d=2，d=-2(舍).所以所求三个数依次为4，6，8.,2.(变换条件、改变问法)若把本例条件改为“成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40”，求这四个数.,【解析】设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则：由得：a=，将a=代入得：d=，所以四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.,【方法技巧】设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，x-d，x，x+d，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a-3d，a-d，a+d，a+3d，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an=pn
18、+q.,【补偿训练】四个数成等差数列，它们的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求这四个数.【解析】设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，根据题意，得(a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94，即4a2+20d2=94.又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18，,即8d2=18，所以d=.代入，得a=，所以所求四个数为8，5，2，-1，或1，-2，-5，-8，或-1，2，5，8，或-8，-5，-2，1.,【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若将本题改为：设三个数成单调递减的等差数列，三个数和为12，三个数的积为48，
19、求这三个数.,【解析】设所求三个数为a-d，a，a+d(d0)，由题意得由得a=4，将a=4代入，得d=-2.故所求三个数为6，4，2.,2.(变换条件)本题条件改为四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.【解析】设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，根据题意得即解得a=1，d=1或d=-1.,又因为四个数成递增的等差数列，所以d0，所以d=1，所以所求的四个数为-2，0，2，4.,拓展类型 等差数列的综合问题【典例】1.把数列2n+1中的项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数
20、，循环，为：(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，则第104个括号内的各数之和为()A.2036B.2048C.2060D.2072,2.(2014金华高一检测)在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差d，那么n的可能取值为_.,【解析】1.选D.由观察发现，每四个括号是一个循环，一个循环由10个数组成，104个括号有26个循环，则第104个括号内有四个数，这四个数为数列3，5，7，9，的第257项、第258项、第25
21、9项、第260项，分别为3+(257-1)2，3+(258-1)2，3+(259-1)2，3+(260-1)2，即515，517，519，521，其和为2 072.,2.圆x2+y2=5x的圆心为C()，半径为r=.过点P()最短弦的弦长为过点P()最长弦长为圆的直径长an=5，所以4+(n-1)d=5，d=因为d，,所以所以4n7.n的可能取值为4，5，6，7.答案：4，5，6，7,【方法技巧】解决数列综合问题的策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.,【补偿训练】在ABC中，若l
22、gsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断ABC的形状.【解析】由A，B，C成等差数列，得2B=A+C，又A+B+C=，所以3B=，B=.因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，,所以2lgsinB=lgsinA+lgsinC，即sin2B=sinAsinC，设三角形内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，则b2=ac，又因为b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，所以ac=a2+c2-ac，即(a-c)2=0，所以a=c.所以ABC是等边三角形.,规范解答 等差数列判定和应用的综合问题【典例】(12分)已知f(x)是
23、定义在非零自然数集上的函数，当x为奇数时，有f(x+1)-f(x)=1，当x为偶数时，有f(x+1)-f(x)=3，且f(1)+f(2)=5.(1)求证：f(1)，f(3)，f(2n-1)(nN*)成等差数列.(2)求f(n)的解析式.,【审题指导】(1)要证明f(1)，f(3)，f(2n-1)(nN*)成等差数列，只要证明f(x+2)-f(x)为常数，其中x是奇数.(2)由题意可知，f(n)是分段函数的形式，当n为奇数时，可借助第(1)问的结论求f(n)；当n为偶数时，需证明f(2)，f(4)，f(6)，f(2n)构成等差数列，再求f(n).,【规范解答】(1)当x为奇数时，x+1为偶数，代
24、入已知等式有f(x+1)-f(x)=1，f(x+2)-f(x+1)=3.2分+得f(x+2)-f(x)=4为常数.4分,又因为 所以所以f(1)，f(3)，f(5)，f(2n-1)构成首项为2，公差为4的等差数列.6分,(2)由(1)知，当n为奇数时，f(n+2)-f(n)=4，f(1)=2，所以当n=2k-1时，f(n)=f(2k-1)=2+(k-1)4=2n.8分当n为偶数时，n+1为奇数，f(n+1)-f(n)=3，f(n+2)-f(n+1)=1，,所以f(n+2)-f(n)=4.所以f(2)，f(4)，f(6)，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列.10分,所以当n=2k时，f(
25、n)=f(2k)=3+(k-1)4=2n-1，11分综上所述，f(n)=12分,【题后悟道】1.认真审题明确解题步骤解答等差数列的判定问题关键是明确解题目标，正确设置解题步骤.审题时，应注意将题目条件和所证结论联系起来，寻找解题思路.如本例中，要证f(1)，f(3)，f(2n-1)(nN*)成等差数列，就要证f(x+2)-f(x)为常数，其中x是奇数.因此要根据题目条件寻找f(x+2)与f(x)的关系.,2.正确构建等差数列模型构建等差数列模型的关键是求准等差数列的基本量：首项、公差.如本例中，f(1)，f(3)，f(5)，f(2n-1)构成首项为2，公差为4的等差数列；f(2)，f(4)，f(6)，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列.,
