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1、等差数列的性质,等差数列,【说明】数列 an 为等差数列,d,=an+1-an,公差是 唯一 的，是一个常数。,知识回顾,an=a1+(n-1)d,an-an-1=d（d是常数，n2，nN*）或 an+1-an=d（d是常数，nN*）,推广的等差数列通项公式,例1 等差数列an中，如果a511，a85，求数列的通项公式,性质一、,1、若一个数列的通项公式为n的一次函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d.,2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.常数列的等差数列通项公式为常值函数。,an=3n+5,a1=8，d=3,an=12-2n,a1=10，d=-2,y=3x+5,y
2、=12-2x,诱思探究,已知等差数列2，4，6，8，10,12，14，16，,等差数列性质二,等差数列性质二的推论,“若下标和相等，则对应项的和相等”,等差数列中：,(奇数项有中项),(偶数项没有中项),数列an是等差数列，m、n、p、qN+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。,判断：,可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多,例1.,例2.在等差数列an中(1)已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,分析：由 a1+a20=a6+a15=a9+a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,例题分析,(2)已知 a3+a11=10
3、，求 a6+a7+a8,(3)已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知 a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,分析：a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187，解、得,或,d=_2或2,从而a14=_3或31,3：在等差数列an中，若a350，a530，则a7_.,10,练习1：如果数列an是等差数列，则(,),B,Aa1a8a4a5,Ba1a8a4a5Da1a8a4a5,2：在等差数列an中，a1a910，则,),A,a5 的值为(A5C8,B6D10,4、等差数
4、列an中，a1+a2+a101=0,则有 A、a1+a1010 B、a2+a1000 C、a3+a99=0 D、a51=51,C,5、已知等差数列an中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求数列an的通项公式,解：a5+a6+a7=15,a6=5,a5+a7=10,a5a7=9,a5=1或9,d=4或-4,an=1+4(n-5)=4n-19或an=9-4(n-5)=29-4n,跟踪训练,7.在等差数列an中，(1)已知 a2a3a23a2448，求a13；(2)已知 a2a3a4a534，a2a552，求公差d.,9如果在等差数列an中，a3a4a512，,那么 a1a2a7(,),
5、C,A14,B21,C28,D35,10已知数列an是等差数列，若a1a5a9a13a17117，求 a3a15 的值,解：a1a17a5a13，a1a5a9a13a17(a1a17)(a5a13)a9a9117.a3a152a92117234.,已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？,am+1，am+2，an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m,已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他
6、的首项与公差分别是多少？,a1，a3，a5，是等差数列首项为a1，公差为2d,取出的是所有偶数项呢？,a2，a4，a6，是等差数列首项为a2，公差为2d,已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an,a7，a14，a21，是等差数列首项为a7，公差为7d,取出的是所有k倍数的项呢？,ak，a2k，a3k，是等差数列首项为ak，公差为kd,（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？,已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，a1，a2，a3，an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？公差是多少？a1+a
7、2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为4d 数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，公差为3d。,等差数列的性质三,1)等差数列an的子数列也成等差数列。,K1,k2,k3,kn成等差数列,成等差数列,等差数列的下标成等差数列，则下标所对的,项也成等差数列。,如,成等差数列。,即等差数列的间隔相等的连续等长片断和序列任是等差数列,1在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9的值为()A30 B27C24 D21,答案：B,1、若数列an为等差数列，公差
8、为d，则kan也为等差数列，公差为 _。,4、若数列an与bn分别是公差为d1、d2等差数列，则an+bn也为等差数列，an-bn也为等差数列，pan+qbn也为等差数列。,kd,2、can(c为任一常数)是公差为_的等差数列；,3、can(c为任一常数)是公差为_的等差数列,d,cd,性质四、,几个等差数列的线性组合仍为等差数列,在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:数列:1,3,5,7,9,11,13,中,即：,等差数列的性质(五),例题.已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求
9、这三个数.,设数技巧已知三个数成等差 数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？,(1)若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.,等差数列的设法及求解,练习1、等差数列an的前三项和为12，前三项积为48，求an。三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d 公差为2d。,练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这4个数。,解：设此四数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,解之得,此四数为2,5,8,11或11,8,5,2,跟踪训练,
