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1、1.3.2 函数的极值与导数,目标引领：,1、利用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.2、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习体会极值是函数的局部性质，增强数形结合的思维意识。,f(x)0,f(x)0,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,复习回顾：,1.函数的单调性与导数的关系：,一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;
2、,求函数的导数 f/（x）;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间;解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,3、已知函数 f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的单调区间,并画出其图象;,复习回顾：,观察画出的图象，回答下面问题：问题1：在点x=0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x=0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x=0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x=0处的导数是多少？,单调递增f(x)0,单调递减f(x)0,f(0)0,f(x),+,0,-,f(x),极大值点,f(0),极大值,分析讨论：函数在x=0附近的变化规律：,你能尝试给
3、出极大值的定义吗？,f(x),【函数极大值的定义】,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左正右负”,你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？,f(x),+,0,-,f(x),f(2),极小值点,极小值,你能尝试给出极大值的定义吗？,【函数极小值的定义】,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左负右正”,极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.,思考3、观察图1.3.10，回答以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点
4、？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。,例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极大值点,哪些是极小值点?,f
5、(x)=3x2 当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.,f(x0)=0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？,例、求函数 的极值,例题讲解,解：,当 时，y有极大值，并且,当 时，y有极小值，并且,（1）求导数f/(x)；（2）解方程 f/(x)=0（3）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.,【求函数极值的步骤】,例
6、2,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是交替出现的吗？,不是,极大值,极小值,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f(x)=0的根（3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f(x)左正右负，则f(x)为极大值；若 f(x)左负右正，则f(x)为极小值,求导求极点列表求极值,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,
