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1、第十四章 达朗贝尔原理,143 刚体惯性力系的简化,142 质点和质点系的达朗贝尔原理,141 惯性力的概念,144 刚体是轴转动时轴承的动反力,达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。,受非零力系作用的物体将改变运动状态。由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，
2、其速度为v，半径为r，如图141所示。,14-1 惯性力的基本概念,与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯性力的概念归结如下：一质量为m的质点受到力F的作用，具有加速度a。则由动力学第二定律有,可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态的施力物体上。,将（141）式可向固定直角坐标系投影有,（142）,（141）,若在自然轴系上投影则有,（143）,上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线的两个分力：切向惯性力 和法向惯性力，他们的方向分别与切向加速度 和法向加速度 相反。,一、质点的达朗贝尔原理,设质量m为的质点
3、，在主动力、约束反力 的作用下运动，其加速度为a，如图（a）所示。,142 质点和质点系的达朗贝尔原理,对质点M应有,上式可改写为,由于，则上式记作：,（144）,这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。应该明确：式（143）只具有静力平衡方程的形式，而没有平衡的实质。,【解】以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，有向右的加速度。则摆锤上作用的力有：,、和，其中。,由静力平衡方程,则,即,二、质点系的达朗贝尔原理,对质点系
4、中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。,设质点系由n个质点组成，其中第个质点的 质量为。它在主动力 和约束反力 作用下运动，其加速度为。则点虚加的惯性力，相应地有,（145）,对整个质点系而言，这样的零力系共有个，它们综合在一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。,在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。,若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述
5、的方法将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来的惯性力系。,设将刚体的惯性力系向任选一点O的简化，则惯性力系的主矢为,又有，故有,（146）,143 刚体惯性力系的简化,即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论均成立。,至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的运动形式有关。,现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下刚体惯性力系的简化结果。,一、刚体作平行移动,在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度。任一质点 的惯性力为,可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都与共同的加速度相反。即此
6、时平动刚体的惯性力系是一个同向平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。,由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心c之合力。,即,（147）,此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心c简化为一力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度相反。,二、刚体作定轴转动,这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对成平面N的情况，如图所示。,通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称平面内的平面力系。再将该平面力系向对成平面的转动中心o（即为转轴与对称平面的交点o）简化，可得到一个力 和一个矩为的力偶。,力矢 可由（145）式求得，即,（148）,而 应等于惯性力系对o点的
7、主矩。设刚体转动的角速度为，角加速度为。记 的转动半径为，则,于是,即,（149）,上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。,式（147）和式（148）表明：刚体定轴转动时，其惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴的对称平面内，转角与角加速度的转向相反。得出上述的结论有两个限制条件：,特殊情况：,（1）转轴通过刚体的质心o，如图（a）所示。此时,（2）刚体作匀速转动，如图（b）所示。此时,三、刚体作平面运动,（1）平面运
8、动刚体惯性力系的简化,设刚体的角速度为，角加速度为，质心加速度为。选质心c为基点，则刚体对称平面内任意代表点 的加速度 可以分解为牵连加速度 和相对加速度，相应地惯性力也有此关系，如图（a）所示。,这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯性力，它的分布情况与刚体以加速度 作平动时相同；另一组是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则由刚体作平行移动和刚体作定轴转动（转轴通过刚体质心）的结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组惯性力合成为一个力偶。,即,（1410）,（1411）,式（149）和（1410）即为平面运动刚体的惯性力系的简化结果。,【解】（1）应
9、用动能定理求在位置2时的瞬时角速度，有,代入（1）式得,又,（1）,（2）,（2）设圆盘得角加速度为，则有,得,（3）,代入（3）式有,（4）,将（2）式代入有,（5）,【解】,以滚子为研究对象。作用于滚子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力 和滑动摩擦力，如图所示。,设滚子的质心加速度为，则由纯滚动条件有，相应地有,对图（b），由平衡方程得,将 代入上式有,则,代入，有,讨论：静摩擦因数满足什么条件，滚子才能发生纯滚动？,作定轴转动的刚体，若重心不在转轴上，将引起轴承的附加动反力。如刚体转速较高，附加动反力将十分巨大，会造成各种严重的后果。下面结合例题进行说明。,【解】应用达朗贝尔原理求解
10、。以整个转子为研究对象，转子受到的外力有重力、轴承反力、。转动中心O虚加离心惯性力、。则在形式上组成一平衡力系。,144 刚体定轴转动时轴承的动反力,将反力分成两部分来讨论。,（1）静反力,静反力 的方向始终铅垂向上。,（2）附加动反力,与静反力不同，附加动反力 和 的方向随着惯性力 的方向而变化。将静反力与附加动反力合成，就得到动动反力。一般情况下，不一定共线，应采用矢量合成。当它们同向或反向的瞬时，动反力取最大值或最小值有,从以上分析可知，在高速转动时，由于离心惯性力与角速度的平方成正比，即使转子的偏心距很小，也会引起相当巨大的轴承附加动反力。为清除附加动反力，首先应消除转动刚体的偏心现象
11、。无偏心的刚体，仅受重力作用，则无论刚体转到什么位置，它都能静止，这种情形称为静平衡。讨论：静平衡的刚体在转动时是否不再引起附加动反力？,【典型题精解】,【解】,因绳长不可伸长，故,因滚子作纯滚动，故,将滚子的惯性力系向质心C简化，主矢为,主矩为,重物A的惯性力为,如图（b）所示。,【解】,杆AB作平面运动，可将惯性力系向质心C简化，故需求得质心C的加速度，以杆端点A为基点，则,上式中 方向如图（b）所示，故,因此得此杆惯性力系得主矢为,式中,惯性力系向质心简化得主矩为,方向如图（a）所示。,【解】,当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系得简化中心在质心C上。因瞬时系统得速度特征量均为
12、零，则点加速度为。以A为基点，有,其中,l为棒长。,虚加惯性力系，如图（b）所示，有,则,因，得,又,得,【思考题】,1、是非题,（1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得主矢都等于刚体得质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。（）,对,（2）质点有运动就有惯性力。（）,错,（3）质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体事质点本身。（）,对,1选择题,（1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情况下，质点惯性力的大小和方向如何？（a）质点作自由落体运动；（b）质点被铅垂上抛（）,A（a）与（b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下 B（a）与（b）的惯性力大小相等，方向都铅直向上
13、C（a）与（b）的惯性力大小相等，（a）向上、（b）向下D（a）与（b）的惯性力大小相等，（a）向下、（b）向上,B,（2）如图所示，半径为R，质量为m的均质细圆环沿水平直线轨道作匀速纯滚动，试问应如何虚加惯性力系？(),D,（3）如图所示，车顶悬挂一质量为m的单摆，当车加速度a沿直线加速行驶时，摆向后偏移。用达朗贝尔原理求的小车的加速度a为(),D,3如图所示，均质杆AB的质量为4kg，B端置于光滑的水平面上。在杆的端作用一水平推力P=60N，使杆AB沿P力方向作直线平移。试用动静法求AB杆的加速度和角之值。,答案：,4.如图所示，板的质量为m，受水平力F作用，沿水平面运动，板与平面间的摩擦系数为f。在板上放一质量为 的均质实心圆柱，此圆柱对板只滚动而不滑动。求板的加速度。,答案：,5匀质细杆弯成图示形状，位于铅垂面内，如图所示。已知：杆单位长度的质量为q=0.6kg/m，半径r=0.2m。试用动静法求杆在图示位置由静止释放瞬时轴承处的约束力。（提示：半圆环质心与轴的距离）,答案：,
