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1、,第十二章 用能量法计算变形,Calculating Deformation by Using Energy Method,赠言,引言,杆件应变能的计算,卡氏定理,目 录,莫尔定理,计算莫尔积分的图乘法,互等定理,虚功原理,赠 言,赠 言 子曰：好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。知斯三者，则知所以修身；知所以修身，则知所以治人；知所以治人，则知所以治天下国家矣。子思 中庸第二十章,前面解决了强度问题（简单变形组合变形）刚度问题怎么办？（1）能否避免组合变形的微分方程？（2）能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线，用揭示本质法，进行寻根？,引言,引 言,本章就寻找能量方法，用于求位移。
2、优点：（1）不管中间过程，只算最终状态；（2）能量是标量，容易计算。,大前提：（1）小变形；（2）服从郑玄-胡克定律。线弹性体响应（内力、应力和变形）为外载的 线性函数。小前提：缓慢加载。变力做功，功只转成应变能 无损失，不转成动能、热能。,杆件应变能的计算,杆件应变能的计算,一、条件,二、变力做功 贮能,外力缓慢做功W，无损失地转化为应变能，贮存于弹性体内部：什么含义？通过计算 功，得到 应变能。,进而推导用 计算：变形体的位移或内力，即能量法。,杆件应变能的计算,三、杆件应变能的计算,1.轴向拉压杆的应变能计算,微元 dx 上轴力 FN(x)做的功:,杆件应变能的计算,2.扭转杆应变能计算
3、,微元 dx 上扭矩 T(x)做的功:,杆件应变能的计算,3、弯曲杆应变能计算,微元 dx 上弯矩 M(x)做的功:,杆件应变能的计算,四、应变能的普遍表达式,1.轴力、扭矩和弯矩各自变形垂直,相互不做功。2.应变能与加载次序无关，可相互叠加（略掉剪力的 影响）。于是得：,现在用内力表达了应变能，能否也能用应力表达应变能？思路：,换成应力。,应变能中的内力,杆件应变能的计算,1.拉压,2.扭转,代入应变能公式中，得：,杆件应变能的计算,3.弯曲,将三种情况都代入应变能中，得：,代入应变能公式中，得：,杆件应变能的计算,如果利用郑玄-胡克定律，可得到：单用应变表示的应变能；用应变、应力联合表示应
4、变能。,另一种推导：,故由公式：,设一个微元 dV=dAdx上 沿 dx 方向的应力,沿 dx 方向产生的应变为,杆件应变能的计算,用dV=dAdx除上式两边,得:,故：,杆件应变能的计算,内力、应力和位移都可以叠加，变形位能的计算能不能用叠加原理?,五、关于交互项的重要意义,杆件应变能的计算,可见变形位能的计算不能用叠加原理。,单独作用时,则,交叉项是两个载荷相互作用的外力功解释1,如何解释交叉项？,载荷F1在载荷F2起的位移上做的功。,杆件应变能的计算,解释2,注意：(1)载荷交互作用做功，不同于自力做功是 变载由零一点一点增大，而是常力做功。(2)实质是虚功原理,杆件应变能的计算,载荷F
5、2在载荷F1起的位移上做的功。,六、利用功能原理求位移,根据外力功 W 全部转成应变能,可以求出一个集中力下的位移。,杆件应变能的计算,例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,（1）求内力,杆件应变能的计算,（3）外力功等于应变能,（2）应变能,杆件应变能的计算,设法推导出（不是简单的证明）,推导的出发点,只有第 i 号外力有增量,卡氏定理,卡氏定理,一、卡氏定理的推导,卡氏定理,卡氏定理,由意大利工程师阿尔伯托卡斯提格里安诺(Alberto Castigliano，18471884)提出。,卡氏定理,二、使用卡氏定理的注
6、意事项,（1）Ve 整体结构在外载作用下 的线弹性应变能；,（2）Fi 视为变量，结构反力和变形 能等都必须表示为Pi 的函数；,（3）i 为 Fi 作用点沿 Fi 方向的变形。,卡氏定理,例 求等截面直梁C点的挠度。,解：,应用对称性得,思考：在AB上作用均布荷载q 时,求 C 点位移？,卡氏定理,例 求A 点的挠度。,（3）变形,（1）求弯矩,解：,（2）求变形能,思考：如何求 A 点转角？,卡氏定理,例 用卡氏定理求B点的挠度。,解：B 点加一个力Q,最后令Q=0。,（1）求弯矩,（2）求应变能,卡氏定理,实际引向了Mohr定理,原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算，只需计算二者交互的
7、变形能。前面的两个思考题也可以这样解。,卡氏定理,（3）求变形,如何计算任一点 A 的位移？,在实载荷下得到相应内力，如弯矩为M(x)。,（1）在A点加虚单位力。（2）计算实、虚载荷交互的应变能。,莫尔定理,莫尔定理,一、莫尔定理公式推导,求任意点A的位移 f A。,弯矩 M(x),前面讲变形能不能迭加的交互项：,因F0=1,莫尔定理,弯矩,莫尔定理(单位力法),普遍形式的莫尔定理,莫尔定理,二、使用莫尔定理注意事项,（5）莫尔积分必须遍及整个结构。,（1）M(x)结构在原载荷（实载荷）下内力。,（3）广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。,莫尔定理,（2）沿所求 广义位移 方向加广义
8、单位力 虚载荷）时结构产生的内力。,（4）与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。,例 求等截面直梁C点的挠度和转角。,解：（1）画单位载荷图；,（2）求内力,莫尔定理,对称性,（3）求变形,莫尔定理,求转角，重建坐标系（如图）,B,A,MC0=1,莫尔定理,注：卡氏定理求含参数积分，再求导；莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小。,各种方法比较,单个集中载荷方向的位移,无法补救,1.积分求变形能2.求外力功,多种载荷中,任一集中载荷方向的位移,任意位移(给出虚载荷P，最后令P=0),1.积分求变形能2.求偏导数,计 算 量,补救范围,应 用 范 围,方 法,任意位移,积分求
9、交互能量,莫尔定理,为了简化Mohr积分计算,坐标原点取直线与 轴的交点。,在单位力作用下，是一条直线，,计算莫尔积分的图乘法,计算莫尔积分的图乘法,O,O,功的互等定理,1.功的互等定理,互等定理,互等定理,2.位移互等定理,如果,则有,位移互等定理，又叫 Maxwell 位移互等定理。,对于,互等定理,1.虚位移,对于刚体：约束条件许可的无限小位移。,对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的无限小位移。,功的互等定理中,虚功原理,虚功原理,2.虚功原理,对于刚体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。,对于变形体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所做的虚功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）。,虚功原理,3、虚功的计算,外 力：F1,F2,内 力：FN,M,外力虚功：We=F1a1+F2a2+,虚位移：a1,a2,虚变形：,内力虚功：,虚功原理,由 We=Wi,虚功原理是最一般的功能原理。,对于梁，施加单位力P=1,力F 产生的内力。,则有：,虚功原理,莫尔定理,所以,虚功原理,因为,小 结1.应变能的概念。2.卡氏定理。3.莫尔定理。4.互等定理。5.虚功原理。,
