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1、第六节 空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,直线的参数方程,说明,直线的三种形式方程之间可以互化。,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,解,先求直线上的一点,取,解得,点,为直线上一点.,再求直线的方向向量,所给直线与两平面的法向量都垂直,可取,直线的对称式方程为:,=,=,4,令,这就是直线的参数方程.,解,交点为,由对称式得，所求直线的方程为：,=,=,2,解,令,代入平面的方程,得：,
2、即,即交点:,定义,直线,直线,即：两直线的方向向量的夹角（锐角）,三、两直线的夹角,两直线的夹角公式,即,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,取,由对称式得，所求直线的方程为：,=,=,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,它的方程为：,代入平面方程得：,交点,取所求直线的方向向量为,由对称式得，所求直线的方程为：,另解：,又,即,令,即,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,或,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,五、平面束,（1）,（2）,任
3、给一数,（常数），,得,（3）,方程(3)表示：,过直线 L 的一个平面.,过直线 L 的一族平面.,反过来,过直线 L 的任一平面,(除平面(2)外),都含在这族平面内.,通过一条定直线 L的所有平面的全体称为过该直线,的平面束.,方程(3)表示过直线 L 的平面束.,实际上,缺平面(2),设直线 L:,过直线 L 的平面束方程为:,即,这个平面垂直于平面,它们的法向量垂直,从而有,即,即,即,直线 L 在平面,上的投影直线的方程为：,例 8,解,即,令,即,空间直线的一般方程.,空间直线的对称式方程与参数方程.,两直线的夹角.,直线与平面的夹角.,（注意两直线的位置关系）,（注意直线与平面的位置关系）,六、小结,思考题,思考题解答,且有,故当 时结论成立,练 习 题,练习题答案,
