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1、第十四单元 随机变量及其分布,知识体系,第三节 离散型随机变量的均值与方差,基础梳理,均值,数学期望,1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称 为随机变量X的 或，记为E(X)或,即E(X)=,其中 是随机变量X的可能取值，是概率，0,i=1,2,n,它反映了离散型随机变量取值的.,平均水平,（2）方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示，则(=E(X)描述了(i=1,2,n)相对于均值的偏离程度，故（其中 0,i=1,2,n,)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为 或,也可用公式V(X)=计算，其算术平方根
2、称为X的标准差，即.2.均值与方差的性质（1）E(aX+b)=aE(X)+b;(2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数).,V(X),=V(X),3.两点分布与二项分布的均值、方差（1）若X服从两点分布，则E(X)=,V(X)=.(2)若XB（n,p）,则E(X)=,V(X)=.,典例分析,题型一 求随机变量的均值【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数的分布列及期望.,p,p(1-p),np,np(1-p),分析 所有可能的取值
3、为1,2,3.,解 设甲景点内A班同学数为,则P（=1）=,P(=2)=P(=3)=故的分布列为 E()=,学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为：（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）计算出X取每一个值时的概率；（3）写出X的分布列；（4）利用公式E(X)=求出期望.,举一反三1.(2009安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定了D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X
4、的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）.,解析:随机变量X的分布列是X的均值E(X)=,题型二 求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.,分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.,解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=V(X)=,
5、学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出V(X).说明：若XB(n,p)，则E(X)=np，V(X)=np(1-p)；若XH(n,M,N），则E(X)=,V(X)=,举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差V(X).,解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差V(X)分别为E(X)=;V(X)=
6、,题型三 期望与方差性质的应用【例3】有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两个建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中X和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂的材料哪一种稳定性较好.,分析 首先看两建材厂的材料的抗拉强度的均值，然后再比较它们的方差.,解 E(X)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125.E()=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125.V(X)=V()=由于E(X)=E
7、(),而V(X)V()，故甲建材厂的材料稳定性较好.,学后反思 离散型随机变量的均值和方差都是随机变量的特征数，均值反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.在进行决策时，一般先根据均值的大小来决定，当均值相同或相差不大时，再去利用方差来决策.,举一反三3.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0p1）,用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差V(X)的最大值；（2）求 的最大值.,解析：(1)随机变量X的所有可能取值为0、1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,从而E(X)=0(1-p)+1p=p.V(X)=当p=时，
8、V(X)取得最大值14.(2)0p1,当且仅当,即 时取等号，故当 时，取得最大值.,题型四 期望与方差的综合应用【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,分析 求的
9、分布列时，要先求取各值时的概率.,解（1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)=0.63,.2P(=2)=0.25,.3P(=1)=0.1,4P(=-2)=.5故的分布列为 7,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34.9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%.14,学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的
10、关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.,举一反三4.(2009陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：（1）求a的值和的数学期望；（2）假设一月份与二月份被消费者设诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.,解析:(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.,的概率分布为 E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月
11、均被投诉1次”.则由事件的独立性得P()=P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08,P()=P(=1)=0.3=0.09,P(A)=P()+P()=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.,易错警示,【例】盒子里有大小相同的10个球，其中标号为1的有3个球，标号为2的有4个球，标号为5的有3个球.第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球（假设取到的每个球的可能性都相同）.记第1次与第2次取得球的标号之和为X,求随机变量X的分布列.,错解 由题意可知X可取3,6,7;P(X=3)=C120.30.4=0.24;P(X=6)=C120.
12、30.3=0.18;P(X=7)=C120.40.3=0.24.故随机变量X的分布列为,错解分析 错解忽视两次取到的球的标号相同，因而随机变量X的取值为2,3,4,6,7,10.,正解 由题意可知，随机变量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09,P(X=3)=C120.30.4=0.24,P(X=4)=0.40.4=0.16,P(X=6)=C120.30.3=0.18,P(X=7)=C120.40.3=0.24,P(X=10)=0.30.3=0.09.故随机变量X的分布列为,考点演练,10.刚上大学的甲进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙，第二天，
13、同学乙在准备给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复，求拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望.,解析:由于第i次拨对甲的手机号码的概率均为,拨号次数不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望E(3)=,11.(2009天津模拟)某箱中有红球和白球若干，有放回地抽取两次球，每次随机抽取1个球，假设事件A“取出的2个球中至多有1个是白球”的概率P（A）=0.91.（1）求从该箱中任取1个球是白球的概率p;(2)若该箱中共有100个球，从中任意抽取2个球，表示取出的2个球中红球的个数，求的分布列和期望.,解析：(1)记 表示事件
14、“取出的2个球中无白球”，表示事件“取出的2个球中恰有1个是白球”，则、互斥，且,故P（A）=P()=P()+P()=于是0.91=,解得,(舍)，所以p=0.3.,(2)的可能取值为0,1,2,若该箱共有100个球，由(1)知白球有1000.3=30个，红球有70个.故P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.所以的分布列为 E()=,12.(2009江西)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持
15、”，则不予资助，令表示该公司的资助总额.（1）写出的分布列；（2）求数学期望E().,解析：(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(=0)=,P(=5)=,P(=10)=,P(=15)=,P(=20)=,P(=25)=,P(30)=.,(2)E()=,第五节 古典概型,基础梳理,1.基本事件在一次试验中可能出现的每一个 称为基本事件.,2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概型.（1）所有的基本事件;（2）每个基本事件的发生都是 的.,3.古典概型的概率公式P(A)=.,基本结果,只有有限个,等可能,典例分析,题型一 有关古典概型概念【例1】判断下列命题正确与否.（
16、1）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是;（2）射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为：命中10环，命中9环,，命中0环，这个试验是古典概型；（3）袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（4）4个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.,解 所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.（2）不是古典概型.因为命中10环，命中9环，命中0环不是等可能的.（3）摸到红球的概率为,白球的概率为,黑球的概
17、率为,因此每种颜色的球被摸到的可能性不相同.（4）抽签有先有后，但每人抽到某号签的概率是相同的.其理由是：假设4号签为中奖签，甲先抽，抽到中奖签的概率为，乙接着抽，其抽中4号签的概率为=.依此类推，丙、丁抽到4号签的概率都为.,分析 弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式.,学后反思 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面.判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分;而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性.,1.下列试验中，是古典概型的有.种下一粒种子观察它是否发芽;从规格直径为250
18、0.6 mm的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d;抛一枚均匀硬币，观察其出现正面或反面;某人射击中靶或不中靶.,举一反三,解析:根据古典概型的定义及特点知，中每个基本事件出现的可能性不相等.,答案:,题型二 求基本事件数并求概率【例2】（2009维坊模拟）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.问：（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？,分析 分析基本事件时，抓住基本事件的特点，能够一一列举出来，进而求解.,解(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球,有如下基本事件（如摸到1、2号球用（1，2）表示）:(
19、1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此，共有10个基本事件.（2）上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球（记为事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.,学后反思（1）对一些情景较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复.,（2）取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，许多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验,解题时要分清“有放回”与“
20、无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响.关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.,2.做投掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数,y表示第二颗骰子出现的点数，写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”的基本事件；,举一反三,（3）事件“出现点数相等”的基本事件；（4）事件“出现点数之和大于10”的基本事件.,解析：（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，
21、2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），(5,6),（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）.,（3）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4
22、，4），（5，5），（6，6）.(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：（5，6），（6，5），（6，6）.,题型三 古典概型问题【例3】同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率.,分析 因为抛掷两枚骰子出现的点数的基本事件总数是有限的，而且每个基本事件发生的可能性相等,故是古典概型.因此，可以列出所有基本事件，利用古典概型求解.,解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P=.（2）方法一：从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5
23、点或6点的概率P=.,方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”.如上表“既没有5点又没有6点”的结果共有16个，则“既没有5点又没有6点”的概率P=,所以“至少有一个5点或6点”的概率为.,学后反思解 决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n与事件A所含的基本事件数m,因此要注意以下几个方面：(1)明确基本事件是什么；(2)试验是否是等可能性的试验；(3)基本事件总数是多少；(4)事件A包含多少个基本事件.,举一反三3.(2009福建)袋中有大小、形状都相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取三次,每次摸取一个球.试问:(1)一共有多少种
24、不同的结果?请列出所有可能的结果;(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求三次摸球所得总分为5的概率.,解析：(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑).(2)记“三次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3,由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=.,题型四 复杂的古典概型的概率的求法【例4】(14分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.
25、现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球两次即终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.,分析 因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型.另外要注意是不放回地摸球，每次摸出的球不能重复.,解(1)设袋中原有n个白球，且nN*,2n7,从袋中任取2个球都是白球的结果数为,3从袋中任取2个球的所有可能的结果为.5由题意知.,7所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2).8即袋中原有白球3个.（2）设事件A表示“取
26、球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球,则.11,（3）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai,i=1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取白球.12所以.14,学后反思 从本题可看出，概率问题的难点在于正确分析某事件所有可能结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件的概率只是解决问题的工具而已.另外该题涉及到无放回的抽样,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次;与其相对应的是有放回的抽样，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复出现，且摸球可无限地进行下去.,举一反三4.在人群流量
27、较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，小布袋只有3个黄色、3个白色的球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板，写道：“摸球方法：从小布袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱”.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？,解析：把3个黄球标记为A、B、C，3个白球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、
28、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.（1）事件E=摸出的3个球为白球，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球P（E）=0.05.（2）事件F=摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=0.45.(3)事件G=摸出的3个球为同一颜色=摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，P（G）=0.1.假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次,不发生有90次,则一天可赚901-105=40,所以每月可赚1 200元.,错解 由已知条件知
29、，方程 表示的曲线包括焦点在x轴上的椭圆和焦点在y轴上的椭圆两种，故所求的概率为.,错解分析 事件A所包含的基本事件的个数搞错.若仔细审题，我们可发现：当m、n1,2,3,4,5,6时，若方程为 表示的曲线是椭圆，则焦点在x轴和y轴上的椭圆是等可能出现的,其概率确实为12.但由题意知,方程 表示的曲线可以是椭圆，也可以是圆（只需要m、n取同一个数即可）.,正解 方程 表示的曲线共有66=36(种)，而方程 表示焦点在x轴上的椭圆的个数为5+4+3+2+1=15.故P（A）=.,考点演练,10.袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，全是白球的概率为,求a的值.,解析：分别记白球为1,2,3号，
30、黑球为4,5,，a+3号，从中任取2只,有如下基本事件（1，2），（1，3），（1，a+3）；（2，3），（2，4），（2,a+3）;（a+2,a+3）,共（a+2）+(a+1)+1=个，“全部是白球”记为事件A，事件A有(1,2),(1,3),(2,3)共3个，所以,解得a=4.,11.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,试就方程组 ax+by=3,x+2y=2,解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；（2）求方程组只有正数解的概率.,解析：事件（a,b）的基本事件共有36个.由方程组 ax+by=3,x+2y=2 可得(2a-b)x=6
31、-2b,(2a-b)y=2a-3.(1)方程组只有一个解，需满足2a-b0,即b2a;而b=2a的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3个，所以方程组只有一个解的概率为P=.,(2)方程组只有正数解，需b-2a0且,即 2ab,a32,b3 或 2ab,a32,b3.其包含的事件有13个：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6),因此所求的概率为.,12.(2009天津)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.(1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.,解析：(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数之比为,所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.,(2)设,为在A区中抽得的2个工厂,为在B区中抽得的3个工厂,为在C区中抽得的2个工厂,这7个工厂中随机地抽取2个,全部的可能结果有 种,随机抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有,共有 11种.所以所求的概率为,
