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1、函数逼近的插值法Hermite插值多项式,主讲 孟纯军,Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性。但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高则光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。,Hermite插值问题的提法,Hermite插值多项式的求法Lagrange方法,Hermite插值余项,三次Hermite插值多项式(n=1),x=0,pi/6;y=sin(x);z=cos(x);u=p
2、i/12;d=hermitchazhi(x,y,z,u)d=0.25876861681747e=abs(sin(u)-d)e=5.042828505269492e-005,Hermit插值问题的一般提法,这样的插值问题称为Hermite 插值问题,Hermite插值多项式的求法Newton方法,分段多项式插值,前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。,Runge现象,a,z,z1=divided1(5);plot(a,z,r,a,z1,g),a,z,z1
3、=divided1(10);plot(a,z,r,a,z1,g),a,z,z1=divided1(15);plot(a,z,r,a,z1,g),a,z,z1=divided1(20);plot(a,z,r,a,z1,g),当节点加密时，被插函数与插值多项式的差别越来越大，这种现象称为Runge现象。所以，高次插值多项式要慎用。一般，采用低次分段多项式插值。,分段线性插值,j=find(x-u0,1),判断xj-1uxj,x=1:7;y=sin(x);u=5.5;v=fenduanlinear(x,y,u)v=-0.61916988643103 e=abs(sin(u)-v)e=0.086370
4、43913936,x=1:0.1:7;y=sin(x);u=5.5;v=fenduanlinear(x,y,u)v=-0.70554032557039 e=abs(sin(u)-v)e=0,分段三次Hermite插值,上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。,分段三次Hermite插值算法,x=1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=-0.15718060155343 e=abs(sin(u)-v)e=5.650925898138537e-
5、004,x=1:0.1:4;y=sin(x);z=cos(x);u=3.3;v=fenduanhermit(x,y,z,u)v=-0.15774569414325 e=abs(sin(u)-v)e=0,样条函数,t=linspace(0,2.25,10);y=sqrt(t);a=linspace(0,2.25,40);d=sspline1(t,y,a);z=sqrt(a);plot(a,d,o,a,z),zz=z-d;plot(a,zz),三次样条插值,转角条件,例题,例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件,解 做差商表(P111),由于是等距离节点,由第二类边界条件得,解方程得将Mi代入式4.4.14)得,由于,故,z,d=sspline2(t,y,0.2,e,f)z=-2.0445-1.7776-1.1303-0.4371 0.0841d=0.9615,上机实习题,取n=5,利用Lagrange插值近似计算当u=-1:0.1:1对应的近似函数值v，并计算真值y(u).输出v以及误差向量e=y-v取n=12,重复1，2步。,
