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1、第二章 二次函数,小结与复习,北师大版九年级数学下册,第2章复习1 知识归类,知识归纳,1二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数注意(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数,yax2bxc,a0,a0,开口向上;a0,开口向下.,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2(a0),y=ax2(a0),（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而
2、减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,抛物线y=ax2的性质,知识归纳,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+c(a0),y=ax2+c(a0),（0，c）,（0，c）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为c.,当x=0时,最大值为c.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的
3、增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象和性质.,由|a|来决定，|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大。,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的
4、增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=
5、ax2 的图象当c 0 时 向上平移|c|个单位得到.当c 0 时 向下平移|c|个单位得到.,上加下减,一般地,由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.左加右减 上加下减,小结：,二次函数y=ax2+bx+c 的系数a、b、c与图象的关系,a决定图象的形状,b影响对称轴的位置,当b=0时，对称轴为.表达式是.,当ab0时，对称轴在y轴.,当ab0时，对称轴在y轴.,y轴,左侧,右侧,3.二次函数y=ax2+bx+c
6、的图像如图所示，则：a 0,b 0.,y=ax2+c,c 确定图象与y轴的交点：（0，c),当c0时图象过.表达式是.,当 c 0时图象与y轴 半轴相交,当c 0时图象与y轴 半轴相交,原点,正,负,y=ax2+bx,二次函数表达式有哪几种表达方式？,一般式：y=ax2+bx+c,顶点式：y=a(x-h)2+k,如何求二次函数的表达式？,已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.,交点式：y=a(x-x1)(x-x2),知识盘点,一、求二次函数的解析式的一般步骤：,一设、二列、三解、四还原.,二、二次函数常用的几种解析式的确定,1、一般式,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式
7、。,y=ax2+bx+c,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1)(x-x2),y=ax2(a0),y=ax2+c(a0),y=a(x-h)2+k(a0),y=ax 2+bx+c(a0),y=a(x-h)2(a0),顶点式,一般式,y=a(x-x1)(x-x2)(a0),交点式,不同二次函数表达式的
8、特点,已知抛物线与x轴的交点坐标分别是x1,x2，则选择交点式。,y=ax 2+bx(a0),顶点在原点,对称轴是y轴,图象经过原点,顶点在x轴上,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,复习,当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.,有两个交点,有两个不同的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程,二次函数y=ax2
9、+bx+c的图象和x轴（直线y=0）的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=k的交点横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=k的根.,y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c关于y轴对称y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c关于x轴对称y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k关于y轴对称y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于x轴对称,关于坐标轴对称,复习,1.配方法求最值二次函数表达式的顶点式是，若a0，则当x=时，y有最大值。,y=ax+bx+c(a 0),y=a(x-h)2+k(a 0),应用：,h
10、,k,2.公式法求最值二次函数表达式的一般式是，若a0，则当x=时，y有最大值。,深思熟虑,1.在坐标平面内,点(-2,3)向右平移3个单位坐标为(,),再向下平移2个单位得(,)继续向左移5个单位得到(,)2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得到图象的解析式为,再向下平移2个单位得,继续向左移5个单位得到.,1 3,1 1,-4 1,y=-2(x-1)2+1,y=-2(x-1)2+3,y=-2(x+4)2+1,抛物线的平移,3.已知抛物线C1的解析式是y=2x2-4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式。,4、若二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么
11、a 0,当x=时，函数有最大值.,5、二次函数y=4x2-mx+5，当x-2时，y随x的增大而减小，当x-2时，y随x的增大而增大，则当x=1时，函数y的值是.,y=-2x2+4x-5,-3,0,m=-16,25,6.抛物线y=x2+2x-4 的对称轴是_,开口方向是_,顶点坐标是_.,7.已知抛物线与轴交于A(-1,0)和(1,0)并经过点M(0,1),则 此抛物 线的解析式为_,y=-x2+1,直线x=-1,向上,（-1，-5）,二次函数的图象与性质,【例1】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0的两根分别为-3
12、和1；a-2b+c0.其中正确的命题是_.(只要求填写正确命题的序号),【思路点拨】,【自主解答】因为二次函数的图象经过点(1，0)，所以当x=1时，y=a12+b1+c=a+b+c=0，所以正确；由于二次函数的对称轴为x=-1,所以-=-1,所以b=2a,故不正确；由对称轴及图象与x轴的一个交点，知另一个交点为(-3，0)，所以ax2+bx+c=0的两根为-3和1，故正确；当x=-1时，y0，得b0，a-2b+c0，故错误.因此正确的命题是.答案：,1.下列四个函数图象中，当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是()【解析】选D.x0时，即在y轴的左侧，y随x的增大而减小.,2.已知抛物
13、线y=ax2+bx+c(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()(A)a0(B)b0【解析】选D.抛物线开口向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，当x=1时，y0，即a+b+c0.,二次函数的图象的平移,【例2】抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()(A)先向左平移2个单位，再向上平移3个单位(B)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位(C)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位(D)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位,【思路点拨】【自主解答】选B.根据y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的，其平移
14、规律是“左加右减，上加下减”得抛物线y=(x+2)2-3可由抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到.,3.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的关系式是()(A)y=-(x+2)2(B)y=-x2+2(C)y=-(x-2)2(D)y=-x2-2【解析】选A.抛物线y=a(x+h)2+k可以由y=ax2经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减，k上加下减”即自变量加减左右移，函数加减上下移.,4.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是_.【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根据平移的规律得平移后的抛物线为y=(x-1-
15、4)2-1+3=(x-5)2+2=x2-10 x+27.答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10 x+27,二次函数表达式的确定,【例3】如图，抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(-1，0).(1)求抛物线的关系式及顶点D的坐标；(2)判断ABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.,【自主解答】(1)把点A(-1，0)的坐标代入抛物线的关系式y=x2+bx-2,整理后，解得b=-,所以抛物线的关系式为顶点D的坐标为(2)ABC是直角三角形.由y=得B(4，0)，AB=5，AC2=OA2+OC2=5，B
16、C2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2.ABC是直角三角形.,(3)作出点C关于x轴的对称点C,则C(0，2)，OC=2.连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时MC+MD的值最小.设抛物线的对称轴交x轴于点E，则COMDEM.,5.已知二次函数y=ax2bx-3的图象经过点A(2，-3)，B(-1，0)(1)求二次函数的表达式；(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移_个单位,【解析】(1)由已知，有所求的二次函数的表达式为y=x2-2x-3.(2)4,【解析】(1)由已知，有所求的二次函数的表达式为y=x2-2x-3.(2
17、)4,6.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3).(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的关系式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.,【解析】(1)由题意得 解得b=2,c=3,此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3.(2)解-x2+2x+3=0得x1=-1,x2=3；因为当函数值y为正数时，函数图象在x轴的上方，所以自变量x的取值范围为-1x3.,【解析】(1)由题意得 解得b=2,c=3,此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3.(2)解-x2+2x+3=0得x1=-1,x2=3；因为当函
18、数值y为正数时，函数图象在x轴的上方，所以自变量x的取值范围为-1x3.,1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限,【解析】选D.因为抛物线开口向上，所以a0,因为抛物线的对称轴在y轴左侧，所以-0，又因为a0,所以b0,因此一次函数y=bx+a的图象不经过第四象限.,【解析】选D.因为抛物线开口向上，所以a0,因为抛物线的对称轴在y轴左侧，所以-0，又因为a0,所以b0,因此一次函数y=bx+a的图象不经过第四象限.,2二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()(A)
19、a0，b2-4ac0(B)a0，b0，b2-4ac0，c0(D)a0，c0，b2-4ac0,【解析】选D.因为抛物线开口向下，所以a0,因为对称轴在y轴右侧，即-0，又因为a0,所以b0，因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c0，因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac0，故选D.,【解析】选D.因为抛物线开口向下，所以a0,因为对称轴在y轴右侧，即-0，又因为a0,所以b0，因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c0，因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac0，故选D.,【解析】选D.因为抛物线开口向下，所以a0,因为对称轴在y轴右侧，即-0，又因为a0,所以b0，因为抛物线与y轴交于正半轴，
20、所以c0，因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac0，故选D.,3.(2010福州中考)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是()(A)a0(B)c0(C)b2-4ac0(D)abc0【解析】选D.因为抛物线的开口向下，因此a0,抛物线与y轴交于正半轴，所以c0，因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac0，由图象可知，当x=1时，函数值为正，所以abc0.,4.(2010成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为()(A)y=x2+1(B)y=(x+1)2(C)y=x2-1(D)y=(x-1)2【解析】选D.抛物线y=x2的顶点坐标是(0
21、，0)，向右平移一个单位后，顶点坐标是(1，0)，因此其表达式为y=(x-1)2.,5.(2010毕节中考)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()【解析】选C.选项C中，因为抛物线的开口向上，因此a0，又因为对称轴在y轴的右侧，所以-0，从而可得b0，此时直线y=ax+b经过第一、三、四象限.,6.(2010襄樊中考)将抛物线y=-x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为_【解析】抛物线y=-x2的顶点坐标是(0，0)，平移后的顶点坐标是(1，2)，而平移不改变a的值，因此平移后的表达式为：y=-(x-1)2+2.答案:y=-(x-1
22、)2+2,7.(2010上海中考)如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y-x2bxc过点A(4,0)、B(1,3).(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.,【解析】(1)抛物线y-x2bxc过点A(4,0)，B(1,3).y=-x2+4x，配方得y=-(x-2)2+4，所以对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,4).,(2)直线EPOA,E与P两点，O与A两点关于直线x=2对称，OE=AP,梯形OEPA为
23、等腰梯形，OEP=APE,OE=OF，OEP=OFE,OFE=APE,OFAP,四边形OAPF为平行四边形，四边形OAPF的面积为20，4(m2-4m)=20，m1=-1(舍)，m2=5,n=-5.,8.(2010宁波中考)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC的面积.,【解析】(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入y=-x2+bx+c得这个二次函数的表达式为y=-x2+4x-6.(2)该抛物线的对称轴为直线x点C的坐标为(4，0)，AC=OC-OA
24、=4-2=2，SABC=ACOB=26=6.,9.(2009宁波中考)如图，抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式.,考点一二次函数的定义应用,考点攻略,例1已知抛物线y(m1)xm2m的开口向下，求m的值,解析 本题容易考虑不全面，只考虑m10，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m10且m2m2，即m2.,例2如果将抛物线yx2bxc沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线yx
25、22x1，则b_，c_.,6,6,第2章复习 考点攻略,第2章复习1 考点攻略,考点三二次函数与一次函数的综合应用,例3已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X21)(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)PEB的面积与PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论,第2章复习1 考点攻略,解析 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式,第
26、2章复习1 考点攻略,第2章复习1 考点攻略,第2章复习1 考点攻略,考点四二次函数的图象和性质的应用,例4已知抛物线yax2bxc(a0)过A(2,0)，O(0,0)，B(3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()Ay1y2By1y2Cy1y2 D不能确定,A,解析 A结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系,第2章复习1 考点攻略,考点五求二次函数的表达式,例5已知二次函数yx2bxc的图象如图X22所示，它与x轴的一个交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函
27、数值y为正数时，自变量x的取值范围,解析 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围,例6如图X23，已知二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A(1,0)和点B(0，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标,解析 把点A(1,0)和点B(0，5)代入表达式即可求出a和c的值，ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性,图X24,数学新课标（BS）,考点一一元二次方程与二次函数
28、的关系,B,例2如图X28，苗圃的形状是直角梯形ABCD，ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墙，BAD135，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？,解析 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角BAD135，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式,例3如图X210，在矩形ABCD中，ABm(m是大于0的常数)，BC8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m8，求x为何
29、值时，y的值最大，最大值是多少？,第2章复习2 考点攻略,数学新课标（BS）,第2章复习2 考点攻略,数学新课标（BS）,例4利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元),(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由,第2章复习2 考点攻略,数学新课标（BS）,
