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1、用因式分解法解一元二次方程,一元二次方程,温故而知新,1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?,2.什么叫分解因式?,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.,直接开平方法,配方法,x2=a(a0),(x+m)2=n(n0),公式法,分解因式的方法有那些?,（1）提取公因式法:,（2）公式法:,（3）十字相乘法:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a2-b2=(a+b)(a-b),a22ab+b2=(ab)2.,x2+(a+b)x+ab=,(x+a)(x+b).,根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m
2、）为,设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即,根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s）,提示,解：,配方法,公式法,解：,a=4.9，b=10，c=0,b24ac=(10)244.90=100,因式分解,如果a b=0，那么 a=0或 b=0。,两个因式乘积为 0，说明什么,或,降次，化为两个一次方程,解两个一次方程，得出原方程的根,这种解法是不是很简单？,可以发现，上述解法中，由到的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法,以上解方程 的方法是如何使
3、二次方程降为一次的？,讨论,以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的?,可以发现,上述解法中,由到的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.,提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0”,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,2.将方程左边因式分解为AB;,3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.,4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,1.将方程右边等于
4、0;,例3 解下列方程：,解：（1）因式分解，得,于是得,x20或x1=0,x1=2，x2=1.,(2)移项、合并同类项，得,因式分解，得(2x1)(2x1)=0.,于是得,2x1=0或2x1=0,(x2)(x1)=0.,1.解下列方程：,解：因式分解，得,（1）x2+x=0,x(x+1)=0.,得 x=0 或 x+1=0，,x1=0,x2=1.,解：因式分解，得,练习,解：化为一般式为,因式分解，得,x22x+1=0.,(x1)(x1)=0.,有 x 1=0 或 x 1=0，,x1=x2=1.,解：因式分解，得,(2x+11)(2x 11)=0.,有 2x+11=0 或 2x 11=0，,解
5、：化为一般式为,因式分解，得,6x2 x 2=0.,(3x 2)(2x+1)=0.,有 3x 2=0 或 2x+1=0，,解：变形有,因式分解，得,(x 4)2(5 2x)2=0.,(x 4 5+2x)(x 4+5 2x)=0.,(3x 9)(1 x)=0.,有 3x 9=0 或 1 x=0，,x1=3,x2=1.,2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径,解：设小圆形场地的半径为r,根据题意(r+5)2=2r2.,因式分解，得,于是得,答：小圆形场地的半径是,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,1.将方程左边因式分解，右边等于0;,2.根据“至少有
6、一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,3.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,小结:,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1.方程右边化为_。2.将方程左边分解成两个_的乘积。3.至少_因式为零，得到两个一元一次方程。4.两个_就是原方程的根。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,AB=0,（A、B 表示两个因式）,A=0 或 B=0,（2）,（3）x24=0,（4）(3x1)25=0,（1）2x24x 2=0,（1）2x24x 2=0,x1=,解：因式分解，得,2(x1)2,x1=0,=0,或,x2=1,x1=0,分解因式的方法有那些?,（1）提取公因式法:,（2）公式法
7、:,am+bm+cm=m(a+b+c).,a2-b2=(a+b)(a-b),a22ab+b2=(ab)2.,（2）,解：移项，得,因式分解，得,x2=0,或,3x5=0,x1=2，,x2=,（3）x24=0,解：因式分解，得,(x2),x2=0,x1=2，,(x2),=0,或,x2=0,x2=2,（4）(3x1)25=0,=0,或,解：因式分解，得,你学过一元二次方程的哪些解法?,说一说,因式分解法,开平方法,配方法,公式法,你能说出每一种解法的特点吗?,方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a0),开平方法,1.化1:把二次项系数化为1;,2.移项:把常数项移到方程的右边;,
8、3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方;,4.变形:化成,5.开平方，求解,“配方法”解方程的基本步骤,一除、二移、三配、四化、五解.,用公式法解一元二次方程的前提是:,公式法,1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).2.b2-4ac0.,1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般步骤:,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,请用四种方法解下列方程:4(x1)2=(
9、2x5)2,比一比,结论,先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;,3.公式法：,总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,x2-3x+1=0 3x2-1=0-3t2+t=0 x2-4x=2 2x2x=0 5(m+2)2=8 3y2-y-1=0 2x2+4x-1=0(x-2)2=2(x-2)适合运用直接开平方法；适合运用因式分解法；适合运用公式法；适合运用配方法.,一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；若
10、一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。,我的发现,用最好的方法求解下列方程1)（3x-2）-49=0 2)（3x-4）=（4x-3）3)4y=1 y,选用适当的方法解一元二次方程,1.解一元二次方程的方法有：因式分解法 直接开平方法 公式法 配方法,5x2-3 x=0 3x2-2=0 x2-4x=6 2x2-x-3=0 2x2+7x-7=0,2.引例：给下列方程选择较简便的方法,（运用因式分解法）,（运用直接开平方法）,（运用配方法）
11、,（运用公式法）,（运用公式法）,（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）,（()2=C C0）,(化方程为一般式）,（二次项系数为1，而一次项系为偶数）,公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,2、用适当方法解下列方程-5x2-7x+6=0 2x2+7x-4=0 4(t+2)2=3 x2+2x-9999=0（5）3t(t+2)=2(t+2),小结：,ax2+c=0=,ax2+bx=0=,ax2+bx+c=0=,因式分解法,公式法（配方法）,2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,直接开平方法,因式分解法,配方法,公式法,因式分解法,将二次方程化为一元方程,降次,先配方，再降次,直接利用求根公式,先使方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0,所有一元二次方程,所有一元二次方程,某些,
