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1、第1页,第八章 玻色子统计和费米统计,8-1 热力学量的统计表达式8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体8-3 玻色Einstein凝聚8-4 光子气体8-5 金属中的自由电子气体,第2页,当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。,第3页,8-1 热力学量的统计表达式,和y看作由实验确定的参量。系统的平均总粒子数为,1、巨配分函数,（8.1.1）,(8.1.2),（8.1.3）,本节推导玻色系统和费米系统的热力学公式。,一、玻色系统的热力学量的表达式,把,2、系统的平均总粒子数,第4页,3、
2、无规运动的总能量-内能,（8.1.4）,Y是,(注意 是y的函数)，可以将Y表为,（8.1.5）,(8.1.6),的统计平均值：,4、外界对系统的广义作用力,第5页,由U,Y,N式得,的函数，其全微分为,故有,(8.1.7),由开放系热力学关系,5、熵及Boltzmann关系,第6页,比较可知,（8.1.8）,所以,积分得,（8.1.9）,将,(8.1.10),玻耳兹曼关系,代入上式，并与6.7节中,比较有,第7页,（8.1.11）,与化学势的关系,巨配分函数的对数,巨热力势J与配分函数的关系,为变量的特性函数,系统的全部平衡性质,系统的基本热力学函数,（开系的热力学方程）,计算过程,第8页,
3、1、巨配分函数改为,（8.1.13）,其对数,（8.1.14）,前面的讨论和有关公式完全适用,二、费米系统,第9页,玻耳兹曼关系,back,第10页,8-2 弱简并理想玻色气体和费米气体,讨论玻色气体和费米气体的差异,不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度,（8.2.1）,分子可能的微观状态数为,（8.2.2）,其中g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度.,一般气体满足非简并条件,玻尔兹曼分布处理,本节讨论弱简并即气体的,或,虽小但不可忽略的情形,第11页,系统的总分子数满足,（8.2.3）,确定拉氏乘子,系统的内能为,（8.2.4）,（8.2.3）,（8.2.4）,被积函数的分母可表为,
4、第12页,小的情况下，,（8.2.5）,保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻尔兹曼分布。在弱简并的情形，保留两项。,（8.2.6）,（8.2.7）,两式相除，得,第13页,用0级近似，即用玻耳兹曼分布的结果,代入而得,（8.2.8）,或,第一项是内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。,费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。可以以为，量子统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。,第14页,不考虑分子的内部结构，讨论在二维平面内运动的玻色粒子气体的内能，总分子数的变化情况（保留
5、一级近似）。其中,思考题,back,第15页,8-3 玻色爱因斯坦凝聚,玻色分布给出,在温度为T时，处在能级(简化令S=0),(8.3.1),处在任一能级上的粒子数都不能取负值,(8.3.2),理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点,(8.3.3),表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为,本节讨论简并理想玻色气体在动量空间中的凝结问题。,上的粒子数为,第16页,化学势,(8.3.4),在足够高的温度下,求和用积分代替.,因此,(8.3.4)式可化为,(8.3.5),在足够高的温度下，处在能级,确定,在体积V内,粒子的量子态数为:,求和化为积分时忽略了,的粒子
6、数与总粒子数相比是一个小量，误差是可以忽略的.,第17页,化学势既随温度的降低而增加,当温度降到某一临界温度,趋近于1。临界温度满足,(8.3.6),令,(8.3.6)式可化为,(8.3.7),而,所以对于给定的粒子数密度n,温度,(8.3.8),将趋近于零,时,第18页,(8.3.9),第二项是各激发能级的粒子数密度,但是在低温下情况有所不同,在绝对零度时,粒子将尽可能地占据最低能态.,由于一个量子态所能容纳的玻色子的数目是不受限制的，绝对零度下玻色粒子将全部处在的最低能级。在足够低的温度下,在,的粒子数也将是相当可观而不能忽略的，,处在能级,前面的讨论指出，理想玻色气体的化学势必是负的。,
7、产生这个矛盾的原因是我们用积分代替(8.3.4)求和,项被弃去了.在温度足够高时可以忽略,的粒子数密度,第19页,首先计算(8.3.9)式的第二项。令,并将(8.3.7)式代入得,(8.3.10),将(8.3.10)式代人(8.3.9)式可以求得,温度为T时处在能级,(8.3.11),随温度的变化如图所示,的粒子数密度为:,第20页,在 时玻色粒子将在 的能级上迅速聚集,其粒子数密度 与总粒子数密度n具有相同的数量级。这一现象称为玻色爱因斯坦凝结.称为凝结温度。在,时,理想玻色气体的内能为,令,(8.3.12),的状态,粒子的动量为零。所以玻色爱因斯坦凝结也常称为在动量空间中的凝结。,可得,第
8、21页,定容热容量为,在高温时趋近于经典值,理想玻色气体的,辐射场和低温下固体的比热,热容量达到极大值,第22页,4He是玻色子。液 4He在2.17K发生一个相变，称,不过理想玻色系统不可能具有超流动性.关于液He的理论必须考虑到粒子之间的相互作用。,因比人们相信,4He的相变可能是玻色爱因斯坦凝结，超流与凝聚在最低能态的粒子有关。,与2.17K也接近。,如果将4He的数据,图94与图93两条曲线形状相似。,液氦 4He具有超流性,称为HeII.在相变点附近，实验测得热容量随温度的变化如图94所示。,相变,温度高于2.17K时，He是正常液体，称为HeI;温度低于2.17K时，,第23页,L
9、ondon 1938年提出4He的,相变理论.弱作用玻色气体的,原子的热波长与平均距离具有相同的量级,量子统计关联起决定性作用.出现凝聚的条件,激光冷却,磁光陷阱和蒸发冷却技术的发展.,金属原子也会出现凝聚87Rb,170nK;23Na,研究后有:,back,第24页,8-4 光子气体,在热力学部分我们曾经论证，空窖辐射的能量(内能)密度和能量密度按频率的分布只与温度有关，并证明能量密度与绝对温度的四次方成正比。,空窖内的辐射场可以分解为一系列单色平面波的叠加。如果采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量为,（8.4.1）,是圆频率，k是波矢。k的三个分量 的可能值为,（8.4.2）,本节根据
10、统计物理的理论，研究空窖辐射能量密度按频率的分布,第25页,有两个偏振方向。这两个偏振方向与k垂直，并相互垂直。单色平面波的磁场分量也有相应的公式。将（8.4.1）式代入波动方程,可得，与k之间存在以下关系,（8.4.3）,其小c是电磁波在真空的传播速度。,又有一定波矢k和一定偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。它以圆频率 随时间作简谐变化，因此相当于一个振动自由度，通常称为辐射场的一个简正振动方式。(8.4.2)式给出的k的可能假有无穷多个,相应于一个k又有两个偏振方向，所以整个辐射场是具有无穷多个振动自由度的力学系统。根据统计物理理论可以研究这个系统的热力学性质，求得其内能按频率的
11、分布。,第26页,本节从粒子的观点研究空窖辐射问题。从粒子的观点可以把空窖内的辐射场看作光子气体。具有一定的波矢k和圆频率 的单色平面波与具有一定的动量p和能量 的光子相应。动量p与波矢量k，能量 与圆频率 之间遵从德布罗意关系.,（8.4.4）,将(8.4.3)式代人(8.4.4)式，可以得到光子的能量动量关系,(8.4.5),由于窑壁不断发射和吸收光子，在光子气体中，光子数不是恒定的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件因此我门只引进一个拉氏乘子。这样光子的分布为:,(8.4.6),因为 意味着光子气体的化学势为零这一点也可以从另一个角度来理解。,第27页,在给定温度
12、和体积下，平均总光子数由空窖辐射自由能最小的要求确定，即,（8.4.7）,是平均总光子数。但,(8.4.8),所以空窖辐射的化学势为零。,光子的自旋量子数为1。自旋在动量方向的投影可取 两个可能值，相当于右，左圆偏振。在体积为V的空窖内，在p到 量范围内，光子的量子态数为:,(8.4.9),将(8.4.4)和(8.4.5)式代人(8.4.9)式可得，在体积为V的空窖内，在,到 的圆频率范围内，光子的量子态数为:,（8.4.10）,第28页,因此,在空窖内，在圆频率 范围内的平均光子数为:,（8.4.11）,在体积为V的空窖内，在圆频率 范围内，辐射场的能量(内能)为,（8.4.12）,普朗克公
13、式1900,第29页,普朗克在得到这公式时第一次引入了能量量子化的概念。这是物理学的一个重大突破。普朗克公式的建立是量子物理的起点。,现在我们讨论在高频和低频的极限情况下辐射场的能量密度。,在 的高频范围，有。可以将(8.4.12)式分母中1这一项加以忽略而有,(8.4.13),从波动的观点看，这意味着空窖中几乎不存在高频的电磁辐射。,维思(Wien)1896,第30页,在 的低频范围，有。(8.4.12)式可以近似为,（8.4.14）,将(8.4.12)式对圆频率积分，可以求得空窖辐射的内能,引入变量，上式可化为,瑞利.金斯 Rayleigh.Jeans 1900,1905,第31页,将积分
14、求出,得,(8.4.15),(8.4.15)式表明，空窑辐射的能量密度与绝对温度的四次方成正比。这跟热力学得到的结果是一致的。不过在热力学理论中比例常数要由实验确定，而统计物理理论可以求出这个比例常数。,根据普朗克公式(8.4.22)，辐射场的能量密度随 分布有一极大值，以 表示。可以由下式定出:,由此得,这个方程可以用数值解法解出，其解为,第32页,由热力学的统计表达式得到光子气体的热力学函数，巨配分函数的对数为:,引入,第33页,光子气体的熵为：,满足热力学第三定律,平衡辐射的通量密度与内能密度的关系为:,back,第34页,8-5 金属中的自由电子气体,原子结合成金属后，价电子脱离原子在
15、整个金属中运动，称为公有电子.公有电子在离子(失去价电子后的原子)产生的势场中运动；电子之间又存在库仑相互作用，因此描述公有电子的运动是一个十分复杂的问题。在经初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在金属体积中的自由粒子，称为自由电子。自由电子的存在可以解释金属的导电性和导热性.但如果将能量均分定理用于自由电子，一个自由电子对金属的热容量将有 的贡献。这是与实际不符的。实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量基本上可以忽略。索末菲(Sommerfeld)根据费米分布对这个问题作了解释。我们将看到泡里不相容原理在这里起着关键的作用。,根据费米分布，温度为T时，能量为 的一个量子态上的平均电
16、子数为:,(8.5.1),第35页,考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个可能值，在体积V内，在能量范围 内，电子的量子态数为:,(8.5.2),所以在体积V内,在能量范围 内的平均电子数为:,(8.5.3),在给定粒子数N,温度T和体积V时,化学势由下式确定:,（8.5.4),由(8.5.4)式可知,是温度和电子密度 的函数,第36页,现在讨论T=0K时电子的分布。我们用 表0K时电子气体的化学势。由(8.5.1)式可知，在0K时,(8.5.5),如图95所示.(8.5.5)式说明，在T=0K时,在 的每一个量子态上,平均电子数为1，在 的每一个量子态上，平均电子数为零。这个分布情况可以这样理
17、解：在0K时,电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡里不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子,因此电子从 的状态起，依次填充至 止.是0K时电子的最大能量,可由下式定出:,第37页,将上式积分,可解出为:,(8.5.6),称为费米能量。令,可得:,(8.5.7),是0K时电子的最大动量,称为费米动量.0K时电子气体的总能量是:,(8.5.8),第38页,由(8.5.8)式可知,0K时电子的平均能量是。现在对,的大小作一数值估计.以Cu为例。Cu的 代入(8.5.6)式，得。在300K时，因此，可见 的数值是很大的。一般温度下的化学势 与 具有相同的数量级。,因此,这就是说，金属中的自由电
18、子是高度简并的。,第39页,现在讨论T0时自由电子的分布。由(8.5.1)式知,(8.5.9),如图9-6所示.(8.5.9)式说明,在T0时,在 的每一个量子态上，平均电子数大于，在 的一个量子态上，平均电子数为，,在 的每一个量子态上,平均电子数小于.注意到 按指数规律随 变化，实际上只在 附近，数量级为 的能量范围内，电子的分布与T=0K时有差异.这一点可以这样说明.在0K时电子占据了从,第40页,0到 的每一个量子态，温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去.但是处在低能态的电子要跃迁到未被占据的状态必须吸取很大的能量，这是极小可能的。所以绝大多数状态的占据情况实际上并不
19、改变。,由此可以想见，只有能量在 附近,数量级为kT的范围内的电子对热容量有贡献。根据这个考虑，可以粗略估计电子的热容量。以,表示能量在 附近kT范围内对热容量作出贡献的有效电子数：,将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为，则金属中自由电子对热容量的贡献为,(8.5.10),前面的数值估计指出,在室温范围.所以在室温范围金属中自由电子对热容量的贡献小于经典理论的数值.与离子振动的热容量相比,电子的热容量可以忽略不计.,第41页,下面讨论自由电子热容量的定量计算.电子数N满足:,(8.5.11),(8.5.11)式确定自由电子的化学势。电子气体的内能U为:,(8.5.12),以
20、上两个积分都可以写成下述形式:,（8.5.13),其中 分别为 和,是一个常数。,我们首先讨论积分(8.5.13)的计算。作变数变换,可将(8.5.13)式表为:,第42页,在右方第一项中,令,可得,在上式右方的第二项中，我们把积分上限都取作，这是因为，而且因为被积函数的分母使对积分的贡献主要来自z小范围。由于后一理由，我们可以将被积函数的分子展开为z的幂级数,只取到z的一次项,而得:,(8.5.14),第43页,因此(8.5.11)式和(8.5.12)式的积分为：,(8.5.15),(8.5.16),由(8.5.15)式得:,当 时，。将c代入,正好得到(8.5.6)式。上式右方第二项很小,
21、可以在第二项中用 代替.因此得:,(8.5.17),第44页,代入(8.5.16)式,并作相应的近似,可得:,(8.5.18),(8.5.18)式给出电子气体的内能由此得电子的热容量为:,(8.5.19),这个结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。,如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围,离子振动的热容量迅速下降,按 趋于零;而电子热容量与T成正比下降比较缓慢所以在足够低的温度下，电子热容量就不能忽略。,第45页,以 表电子热容量 表离子热容量,在低温下两者之比为：,(8.5.20),仍以Cu为例,故。由此可见,若T3K,电子热容量级不能忽略。而且在极低温度下，电子热容量比离子热容量还要大。,back,
