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1、1,一.复变函数的内容：、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；、解除了实数领域中若干禁令：,实函,复函,不存在,不存在,2,复变函数的内容：、将“实函”中,函数、极限、连续、微商、积分、级数推广至“复函”中；、解除了实数领域中若干禁令：,、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系,shx为双曲正弦,chx为双曲余弦,3,二.复变函数的应用：,1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、复变函数法；,2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、行波法；,3、计算实积分，如：留数定理。,4,1.1 复数与复数运算,一.复数的基本概念,虚数单位,复数,实部、虚部,纯虚数
2、,两个复数相等,实部和虚部分别相等,第一章 复变函数,代数式,复数平面实轴虚轴,复数还可以用复平面上的矢量来表示！,复数不能比较大小！,5,复数的三角表示式：,复数的指数表示式：,r称为z的模：,z的辐角：,辐角没有意义.,结论,欧拉公式,6,设,共轭复数,定义,7,二.无限远点,N为北极，,S为南极,除去北极N，球面上的点与复平面内,的点一一对应.,除去北极N，球面上的点与,复数一一对应.这种对应叫做,即,因当z点无限地远离原点时,或者说，当复数z的模无限地变大时，,点P就无限地接近于N.,所以，规定：,复平面上有一个唯一的“无穷远点”与N相对应.,相应地，规定：,复数中有一个唯一的“无穷大
3、”与复平面上的无穷远点 N相对应.,记为,测地投影，球叫做复数球,8,三.复数的运算,和差,积,交换律结合律,交换律、结合律、分配律,商,除法是乘法的逆运算,9,有的时候采用三角式或者指数式表示更加简单：,辐角不能唯一确定，可以相差 的整数倍,10,定义,棣莫弗(DeMoivre)公式：,11,下面求出w,由棣莫弗公式得：,12,13,解:,14,(在第三象限),解:,三角式:,指数式:,15,例4,解,16,|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2,解：,例5：求下列方程所表示的曲线,(1)|z+i|=2(2)|z-2i|=|z+2|(3)Im(i+=4,（1）|z+i|=2,即是,表示圆
4、心在（0，-1）半径2的圆,表示点2i和到-2两点距离相等点的轨迹。既过原点的直线,（2）|z-2i|=|z+2|,17,(3)、Im(i+,所以1-y=4,是y=-3的直线,18,若z不在负实轴和原点上，则,复数的加减与向量的加减一致,19,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,20,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,21,使用时，直接删除本页！,精品课件，你值得拥有！,精品课件，你值得拥有！,22,扩充复平面：,复平面（有限复平面）：,包含无穷远点在内的复平面,不包含无穷远点在内的复平面,复数：,实部、虚部、模、辐角的概念均无意义,规定：,如无特殊说明，所谓“平面”一般仍指有限平面，所谓“点”仍指有限平面上的点.,不规定其意义,仍不确定,
