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1、,3.2.2 复数代数形式的乘除运算,黄山中学 陈秀群,数系的扩充与复数的引入,3.1数系的扩充和复数的概念,3.2复数代数形式的四则运算,数系的扩充和复数的概念,复数的几何意义,复习引入,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,整数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,回顾历史 数系扩充,虚数的引入，解决了负数不能开平方的矛盾。,实数系 复数系,扩充,数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配
2、律。,回顾历史 数系扩充,3.2复数代数形式的四则运算,复数代数形式的乘除运算,复数代数形式的加、减运算及其几何意义,复习引入,复数加减法的运算法则：,1.运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有,z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,回顾计算,复数运算转化为实数的运算,复数代数形式的乘除运算,你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形式的加
3、减运算法则，解决下面这个问题吗？,问题一,数系扩充原则：数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。即 对任何z1,z2,z3有：z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,复数代数形式的加减运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,类比多项式加减运算,一、复数代数形式的的乘法,1.复数乘法的运算法则：,A.复数的乘法类比多项式的乘法；B.所得
4、的结果中把i2换成-1；C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2,=(ac-bd)+(bc+ad)i.,2.复数乘法的运算律,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,例1、计算：,解：,实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和（差）公式在复数集C中还成立吗？,问题二,问题三,实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中还成立吗？,zmzn=zm+n;（z1z2)m=z1mz2m;(zm)n
5、=zm n,i 的指数变化规律,你能发现规律吗？有怎样的规律？,探究1：,-i,-1,1,i,i,-1,-i,1,例2、求值：,10,9,8,7,6,5,4,3,2,+,+,+,+,+,+,+,+,+,=,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,）,（,）,（,解：原式,例3、计算(1)(3+4i)(3-4i)(2)(12+5i)(12-5i)(3)(a+bi)(a-bi),一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。,=32-(4i)2=9+16=25,=122-(5i)2=144+25=169,=a2-(bi)2=a2+b2,1.zz与|z|、|z|有什么关系？2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点有怎样的位置关系？,探究2：,二、复数代数形式的除法,练习：的共轭复数为。,（1）复数的乘法；,（2）复数的除法；,归纳小结,通过本节课的学习，你有哪些收获？,1.知识,2.思想方法,3.能力,转化与化归(复数问题实数化）,归纳 类比 创新,（3）共轭复数。,自主学习,自我反思：x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，如果不是，你能求出其他的解吗？,作业,课本 P112 A组 4、5,谢谢大家，再见！,
