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1、三角形全等之截长补短 三角形全等之截长补短 一、知识点睛 截长补短： 题目中出现_时，考虑截长补短；截长补短的作用是_ _ 二、精讲精练 1. 已知：如图，在ABC中，1=2，B=2C A12求证：AC=AB+BD BC D A 12 BCD A12 BCD2. 如图，在四边形ABCD中，A=B=90，点E为AB边上一点，且DE平分ADC，CE平分BCD 求证：CD=AD+BC 1 CDAEB3. 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB， B=D=BAD=90，E，F分别为CD，BC边上的点，且EAF=45，连接EF 求证：EF=BF+DE 2 ADEBFC4. 已知：如图，在ABC中，求
2、证：AC=AE+CD ADEBFCABC=60，ABC的角平分线AD，CE交于点O BEDOAC3 BDE OAC5. 已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD交BD的延长线于点E 求证：CE= 4 1BD 2ADEBCADEBC 线段间的和差倍分； 把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系 1. 补短法： 证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE ABD是BDE的一个外角 ABD=EBDE BE=BD E=BDE ABD=2E ABD=2C E=C 在ADE和ADC中 EBDCA125 E=C1=2 AD=ADADEADC AE=AC AC=ABBE
3、 =ABBD 截长法： 证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF 在ABD和AFD中 A12FBDCAB=AF1=2 AD=ADABDAFD B=AFD，BD=FD B=2C AFD=2C AFD是DFC的一个外角 AFD=C +FDC FDC=C DF=FC BD=FC AC=AF+FC =AB+BD 2. 证明：如图，在CD上截取CF=CB CE平分CBD 1=2 在CFE和CBE中 CD34AF12CF=CB1=2 CE=CECFECBE CFE=B B=90 CFE=DFE =90 A=90 DFE=A DE平分ADC EB6 3=4 在DEF和DEA中 DFE=A3=4 DE=D
4、EDEFDEA DF=AD CD=DF+CF =AD+BC 3. 证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG AD=ABC=90 2ABG=D=90 13在ABG和ADE中 DAB=ADABG=D BG=DEABGADE AG=AE，1=2 BAD=90，EAF=45 2+3=45 1+3=45 即GAF=45 GAF=EAF 在AGF和AEF中 EGBFCAG=AEGAF=EAF AF=AFAGFAEF GF=EF GF=BF+BG EF=BF+DE 4. 证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF AD，CE为ABC的角平分线 B1=2，3=4 在AEO和AFO中 DAE=AFEO
5、71=25AO=AO68 12AF7 43CAEOAFO 5=6 ABC=60 1+2+3+4=180-B =180-60 =120 2+3=60 AOC=180-60 =120 5=6=7=8=60 在OFC和ODC中 8=7 OC=OC3=4OFCODC CF=CD AC=AF+FC =AE+CD 5. 证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F CEBD FBEF=BEC=90 BAC=90 ACAF=BAD=90 ED33=4 41=5 51在BAD和CAF中 2BC1=5 AB=ACBAD=CAFBADCAF BD=CF BE平分ABC 1=2 在BEF和BEC中 1=2 BE=BE
6、BEF=BECBEFBEC EF=EC 8 1CE=CF 21CE=BD 2三角形全等之截长补短每日一题 1. 在ABC中，ADBC于D，B=2C 求证：CD=AB+BD 2. 如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任意一点，连接BP，CP 求证：AB-ACPB-PC 9 ABDCA12PBDC3. 已知：如图，1=2，P为BN上一点，且 PDBC于点D，A+C=180 求证：BD=AB+CD B4. 如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分DAE，连接EF 求证：AE=BE+DF 1. 证明：如图，在线段DC上截取DE=BD，连接AE 10 ANP12DCADFBEC
7、A21ECBDADBC ADB=ADE=90 在ABD和AED中 AD=ADADB=ADE DB=DEABDAED B=1，AB=AE B=2C 1=2C 1是AEC的一个外角 1=C+2 C=2 AE=CE CD=CE+ED =AE+BD =AB+BD 2. 证明：如图，在线段AB上截取AE=AC，连接PE A12PEBDC则AB-AC=AB-AE=EB 在AEP和ACP中 AE=AC1=2 AP=APAEPACP PE=PC 11 在PEB中，PB-PEEB PB-PCPB-PC 3. 证明：如图，在BC上截取BE=BA，连接PE ANP1B234EDC在ABP和EBP中 BA=BE1=2
8、 BP=BPABPEBP A=3 A+C=180，3+4=180 4=C PDBC PDE=PDC=90 在PDE和PDC中 4=CPDE=PDC PD=PDPDEPDC DE=DC BD=BE+ED =AB+CD 4. 证明：如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG A2431D5FGBEC12 四边形ABCD为正方形 AB=AD，D=ABC=BAD=90 ABG=D=90 在ABG和ADF中 AB=ADABG=ADF BG=DFABGADF 1=2，5=G AF平分DAE 1=3 1+5=90 3+G=90 1+3+4=90 2+3+4=90 2+4=G AE=EG EG=BE+BG
9、AE=BE+DF 三角形全等之截长补短 6. 已知：如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，C=60，BD平分ABC 求证：BC=AB+AD ADBC 13 1. 证明略 提示：在BC上截取BE=AB，证明ABDEBD，再证明 CE=AD 三角形全等之截长补短 1. 如图，在ABC中，BAC=60，ABC=80，AD是BAC的平分线 求证：AC=AB+BD 14 ABDCABDCABDC2. 如图，AC平分BAD，CEAB于E，求证：AE=AD+BE B+D=180 15 CDAEBCDAEB3. 如图，在ABC中，A=100，ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DE=
10、AD，连接EC 求证：BC=AB+CE 16 ADEBCADEBC4. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，CEAB于E，BDC为等腰直角三角形，BDC=90，17 ADEFBCADEFBCBD=CD，CE与BD交于F，连接AF求证：CF=AB+AF 1. 证明略 提示： 方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明ABDAED， 再证明CE=DE； 方法二：延长AB到E，使BE=BD，证明ADEADC 2. 证明略 提示：在AE上截取AF=AD，证明CDACFA，再证明 BE=FE 3. 证明略 提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明ABDFBD， 再证明DFCDEC 4. 截长法：
11、证明：如图，在CF上截取CM=BA，连接DM BDC为等腰直角三角形，BD=CD 1=DCB=45 CEAB，BDC=90 CEB=BDC=90 2=3 4=5 在ABD和MCD中 BE41A7D86M5C2F3AB=MC4=5 BD=CDABDMCD DA=DM，6=7 ADBC 7=1=45 6=45 8=45 7=8 在ADF和MDF中 DA=DM7=8 DF=DFADFMDF AF=MF CF=CM+MF 18 =AB+AF 补短法： 证明：如图，延长BA交CD的延长线于点G BDC为等腰直角三角形 GDB=BDC=90，5=45 CEAB CEB=BDC=90 1=2 3=4 在GBD和FCD中 E35A1FG7624CDGDB=FDC DB=DC3=4BG=CF，DG=DF ADBC 6=5=45 7=45 6=7 在GDA和FDA中 BGBDFCD DG=DF7=6 DA=DAGDAFDA AG=AF BG=AB+AG CF=AB+AF 19
