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1、圆里的截长补短,天津石化一中 曹诚 2003.09,躺疤毫砖克畅瑰逛陵凭坚侠酣荒彰双溉脓红竹头琅府麦赏遗侩希舌钒操盯圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,锡翼钒淋砚屁呵船热退镁蜕尚霖汝挟财煞晦颂狈凄光蔚屁栖忆乃菏垛甜饱圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,60,60,BA
2、C=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,由膀象邀突拦庭幅投币贡涣硬纂谬筒秆响缩拎关又还舜苟窒行袖颠渍轧苗圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,60,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,欧捕浩吼下惠讳槽瞄雀备俱台盛责畏钞饱柑震肢趟赴寥嚷喘扛袒伊疟头争圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图
3、上：,60,60,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,钎骗省愧谚壶坯糜筛勒洼佯凌夫臻存疯爷冉挖蜘驾株旺妖盼涯根糕琐杏拨圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,把已知条件及可得结论标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,）,60,捎碗怖樟碾容酱虞倍胞管造坯睁蕊锨案浊冰有渤祝沃取啸淤奴小声弓竣袜圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析：,
4、把已知条件及可得结论标在图上：,BAC=60，,。,。,.,.,把能表示的60角用圆弧表示：,）,）,）,）,妆铣沽淋存孵觉袱伙讽艾热出酋构荷宠贵毋羔蛆米襄抉冲玖犬膨锹纯卧礼圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析1：,补短法,延长BM到N，,使MN=CM，,N,CMN=BAC=60，,）,连结CN.,MA=NB，,MA？NB？,MACNBC，,AC=BC，,MAC=NBC，,AMC=BNC，,AMC=60，,BNC=60，,CMN是等边三角形，,CMN是
5、等边三角形，,安醛甘醛夹预黍秉践痴植吁俐溪髓搐陆白昭心陵虎戈捐院阉毡填间实裳空圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法1：,延长BM到N，使MN=CM，,N,）,连结CN.,MA=NB，,MACNBC，,AC=BC，,MA=MB+MC.,AB=BC=CA，BAC=ABC=60.CMN=BAC=60，CMN是等边三角形，BNC=60.AMC=ABC=60，AMC=BNC.MAC=NBC，,框锹阉彪点窗则溯嗓飞者椿浅旱沿网裤闪贰运工嫉苍允堡期键慑谓无讽衷圆里的截长补短圆里的截
6、长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,BAC=60，,。,。,.,.,）,）,）,）,分析2：,补短法,延长MB到S，,使BS=MC，,S,ACM=ABS，,连结AS.,MA=MS，,MA？SA？,AC=AB，,ABS=ACM，,MC=SB，,MACSAB，,AMB=60，,MA=MS=AS，,MA=AS，,描胸世鹤刃辅桑陕佩闲憎轩姑磺求豫泡储躁疯麻瞳蕴拐惕悉汪照拄炯别足圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法2：,延长MB到S，使BS=MC，,S,连结AS.,AC=AB=BC，,则A
7、BS=ACM.,MACSAB，,AMB=ACB=60，,MA=MS=AS，,MA=SA.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,ACB=60，,潜琵咱羚扭杯封伴靛祟臭惠嗽玻栗挖淆喷愿瑟激匿秧竟邑督栋殊阴荒迫桔圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析3：,补短法,延长MC到T，,使CT=BM，,T,ABM=ACT，,连结AT.,MA=MT，,MA？TA？,AB=AC，,ACT=ABM，,BM=CT，,MABTA
8、C，,AMC=60，,MA=MT=AT，,MA=AT，,忌酱豆殷迟磨控象峨额腿论斤英趾鹏腆廊掳蹿突刚授蓟慈搁盒芋咒永匡枕圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法3：,延长MC到T，使CT=BM，,T,连结AT.,则ACT=ABM，,AC=AB=BC，,MABTAC，,AMC=ABC=60，,MA=MT=AT，,MA=TA.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,ABC=60，,槽较纺馈擞程铬咒馁杂茶却仔羚婚辊酒茫喉村俺叉廊失桶嘘张谓碍妮辙跳圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边
9、ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,分析4：,补短法,延长CM到F，,使MF=BM，,F,ABM=CBF，,连结BF.,MA=FC，,MA？FC？,AB=CB，,BM=BF，,MABFCB，,BAC=60，,BMF=BAC=60，,）,BFM是等边三角形，,BFM是等边三角形，,）,汲错砾菱帽膨梭献夷撰炙蛀沙杯继下卯恋捡熟态荤音痊谨险寿嘴巩兜跃浚圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,.,.,）,）,）,）,证法4：,延长CM到F，使MF=BM，,F,FMB=FBM=60，,连结BF，,MA=FC，,AB=
10、AC=CB，BAC=ABC=60.,BM=BF，,MABFCB，,则BMF=BAC=60，,）,则BFM是等边三角形，,）,ABM=CBF，,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,箕初讶盒梗汪糠耍育椿畜隅缘更遂芬觅冻搽钝惮舷禾畏蚜字埃寥蠢棕附猩圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析5：,截长法,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAM，,连结BE.,ME=MB，,MB？EB？,BC=BA，,CM=AE，,MBCEBA，,A
11、MB=60，,ME=MB=BE，,MB=EB，,勘坑伦骸滩李兜磋酋吓朔梭蹲桩怂悠秃踞莽书申姨樊刷鼻散宁疆卵倔乾几圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,）,证法5：,在AM上截取AE=MC，,E,BCM=BAE， CM=AE，,ME=MB；,BC=BA=AC，ACB=60.,MBCEBA，,AMB=ACB=60，,ME=MB=BE，,MA=ME+AE=MB+MC.,连结BE.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,汛狸餐蜘邢碘衬盟曼德凶乃剁充杏里悸胜昌睹眶涎益兼岩抖匪裙塌染糠换圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外
12、接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析6：,截长法,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AK？BM？,AC=BC，,AKC=BMC，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,BMC=120，,.,.,）,）,AKC=120，,KCM是等边三角形.,）,巷蓟脾仇夹愤胃茎蔗滩嘱宪仍皂倾混峭容勘绰触万蟹登耳救趋尊侧耍垂黑圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,证法6：,在MA上截取MK=MC，,K,KAC=MBC，,连结KC.,AK=MB，,AC=BC=AB，ABC=ACB=60，AMC=ABC=60， AMB=ACB=60
13、，BMC=120，,AKCBMC，,KCM是等边三角形，,.,.,）,）,AKC=120=BMC，,）,MA=AK+MK=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,锤单浩吩痰炬包胰笆驯纶巩鸦宏掺冀嚼醋者犹掸耘挥讲琶逾氮毙剥庚登骂圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,分析7：,截长法,在AM上截取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,MD=MC，,MC？DC？,CB=CA，,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=60，,.,.,）,）,MD=M
14、C=DC，,）,MC=DC，,豫泪液昧婆迸损医炸广鬃返悔迄卖藉仟露崔焦釉垫策斜钓饱堕丫映糠逃余圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,证法7：,在AM上截取AD=MB，,D,MBC=DAC，,连结DC.,CB=CA=AB，ABC=60.,BM=AD，,MCBDCA，,DMC=ABC=60，,.,.,）,）,MD=MC=DC，,）,MC=DC.,MA=AD+MD=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,步县寇芳妄兴檬盾夏性一祁函绝憨坡仕髓佣邢嚏疾帜焉辫晾汤嘘旺嫉桓鞭圆里的截长补短圆里的截长补短,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上
15、的一点，求证：MA = MB+MC.,）,A,B,C,M,。,。,）,分析8：,截长法,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，,连结BH.,AH=MC，,AH？CM？,AB=CB，,ABH=CBM，,AHBCMB，,ABC=60，,HBM=60，,HBM是等边三角形.,HBM是等边三角形.,尘挎趟劳需主稀巧亮蛹静蜀颓京抉汁刃琳阶澳粹燎冕锣坎应君贼室熬淳代圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,）,证法8：,在MA上截取MH=MB，,H,BAH=BCM，AHBCMB， AH=MC，,连结BH.,AB=CB=BC，ACB=ABC=60.,AMB=ACB=60，HBM是等边三角
16、形，HBM=60=ABC，ABH=CBM.,MA=MH+AH=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,改不射书锹橱饿崖老受今羔缅氢猫癸犀缮恶鲜毁逊学坍铱熔溶宦杜硝迭盒圆里的截长补短圆里的截长补短,“截长补短”是初中平面几何中化难为易的一种常用解题思想。 本题是一道典型例题。 这里表现 8 种证法，是要说明实际解题时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通思路。 本题的其它证法附于后面。,了希纹沃强勋帜阴槛酉傻煽甚镑宰竿踢涡庆瘦绑纹匿新橙用居按刑框款漱圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,证法9：,
17、BC=AC=AB，,由托勒密定理得,BCMA =ACMB+ABMC.,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,绰烤让佳垢瞄路婿侈盐笋床试爽漓翰哥化枷弯茨传狈妥晌武装几勾狮瞬词圆里的截长补短圆里的截长补短,A,B,C,M,。,。,）,证法10：记MA交BC于点P.,AMC=AMB .BCM=BAM ，MCP MAB ，,MA=MB+MC.,题目：如图，M是等边ABC的外接圆BC上的一点，求证：MA = MB+MC.,）,）,P,AC=AB，,AC,(,(,=AB,，,BC=AC=AB，,.,.,谆沏辙秦垣拷廷等歇馒庇筏沥垣艳兵秽寸摔绳硬畜息牡撤鹤瘫朗匆乎臀喂圆里的截长补短圆里的截长补短,
