不定积分计算方法.docx

《不定积分计算方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不定积分计算方法.docx（122页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、不定积分计算方法第一讲 定积分的概念 教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质 难 点：无限细分和累积的思维方法 重 点：微元法思想和定积分的基本性质 教学内容： 定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用 一、问题的提出 1、曲边梯形的面积 在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？

2、下面以曲边梯形为例来讨论这个问题. 设函数y=f(x)在a,b上连续. 由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b、x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便，假定f(x)0. 由于函数y=f(x)上的点的纵坐标不x1 x2 y y=f(x) 断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大. 为使高的变化较小，先将区间a,b分成n个小区间，即插入分点. xi xn O a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b x a=x0x1x2xn=b在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小区间的长度为Dxi=xi-xi-1,i=1,2,n. 由于

3、f(x)连续，故当Dxi很小时，第i个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间xi-1,xi上任取一点xi，则可认为第i个小曲边梯形的平均高度为f(xi)，因此, 这个小曲边梯形的面积 DAif(xi)Dxi. 用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值, 再求和, 即得整个大曲边梯形面nn积的近似值 A=DAif(xi)Dxi. i=1i=1可以看出：对区间a,b所作的分划越细，上式右端的和式就越接近A. 记l=maxDxi，则当l0时，误差也趋于零. 因此，所求面积 1inn A=lim2、变速直线运动的路程 l0i=1f(xi)Dxi. (1) 设物体作直线运动，速度v(t)是时间t的连续函

4、数，且v(t)0. 求物体在时间间隔a,b内所经过的路程s. 由于速度v(t)随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式 路程速度时间来计算物体作变速运动的路程. 但由于v(t)连续，当t的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间a,b可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割：用分点a=t0t1t2tn=b将时间区间a,b分成n个小区间ti-1,ti (i=1,2,n), Dsi. 其中第i个时间段的长度为Dti=ti-ti-1，

5、物体在此时间段内经过的路程为(2) 求近似：当Dti很小时，在ti-1,ti上任取一点xi，以v(xi)来替代ti-1,ti上各时刻的速度，则Dsiv(xi)Dti. (3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得 nnis=Dsi=1v(xi=1i)Dti. (4) 取极限：令l=maxDti，则当l0时，上式右端的和式作为s近似值的误差1in会趋于0，因此 s=limnl0v(xi=1i)Dti. (2) 以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，

6、因此，有必要在数学上统一对它们进行研究 二、定积分的定义 定义 设函数f(x)在区间a,b上有定义，任意用分点 a=x0x1x20故0-2f(x)dx0， 即 0-2 (e-x)dx0x故 0-2edxx0-2xdx,从而原不等式成立.注f(x)=ex-10,x-2,0f(0)=1,f(x)f(0)=10. 性质5 (估值定理) 设函数f(x)在区间a,b上的最小值与最大值分别为m与M，则 m(b-a)baf(x)dxM(b-a) 证 因为mf(x)M，由性质4推论1得 abamdxbaf(x)dxbabMdx dx 即 mdxbbaf(x)dxMba故 m(b-a)af(x)dxM(b-a)

7、 利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围. 例2 估计定积分p13dxx0的值 32+sin2解 Q当x0,p时,0sinx1,0sin2x1，由此有 322+sin2x3,1313x12， 2+sin2于是由估值定理有 p3p130dxxp2 2+sin2例3 估计定积分e2x123-x4dx的值 32, 解 设f(x)=2x3-x4,x1,2,则f(x)=6x2-4x3,令f(x)=0, 得x=327f(1)=1,f=,f(2)=0, 216又 所以f(x)在1,2内的最大值为2716, 最小值为0，于是 272x-x34 1=ee由估值定理有 1

8、0e1627， 21e2x-x34dxe16性质6(定积分中值定理) 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则在a,b内至少存在一点x，使下式成立： baf(x)dx=f(x)(b-a), xa,b 这个公式称为积分中值公式. 证 把性质5的不等式各除以b-a，得 m由于f(x)在闭区间a,b上连续，而b-a1baf(x)dxM b-a1baf(x)dx介于f(x)的最小值m最大值M之间，故根据连续函数的介值定理(第2章)，在a,b上至少存在一点x，使f(x)=1b-abaf(x)dx，即 baf(x)dx=f(x)(b-a) 显然，积分中值公式不论ab都是成立的公式中，f(x)=y y=f(x

9、) b-a1baf(x)dx称f(x) 为函数f(x)在区间a,b上的平均值 这个定理有明显的几何意义：对曲边连续的曲边梯形，总存在一个以b-a为底，以O a x b x a,b上一点x的纵坐标f(x)为高的矩形， 其面积就等于曲边梯形的面积 四、总结： 1定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法 2定积分的几何意义：若f(x)0，则积分f(x)dx表示如图52所示的曲边梯ab形的面积；若f(x)0，则积分f(x)dx表示如图53所示的曲边梯形面积的负值；ab若在a,b上f(x)的值有正也有负，积分f(x)dx表示介于x轴、曲线y=f(x)及直线abx=a、x=b之间各部分面积的代

10、数和. 即在x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积 3可积性定理：在a,b上连续的函数比在a,b上可积 4定积分的基本性质 五、作业：练习 3、4、5、6 第二节 微积分基本公式 教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质 难 点：变上限积分的性质与应用 重 点：牛顿-莱布尼兹公式 教学内容： 由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的. 因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法. 不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为v(t)，路程为s(t)，则在时间区间T1,T2内运动的距离为s(T2)-s(T1)；另一

11、方面，由上节的分析可知，该距离应为v(t)dt.由此有 T1T2T2T1v(t)dt=s(T2)-s(T1) (1) 即：v(t)在T1,T2上的积分等于它的一个原函数在T1,T2的增量. 这一结论是否具有普遍意义呢？下面来回答这个问题. 一、变上限的积分 设函数f(x)在区间a,b上连续，xa,b，则f(x)在a,x上连续，故积分f(x)dx存在，axy 称为变上限的积分. 为避免上限与积分变量混淆，将它改记为f(t)dt. 显然，对a,b上任一axF(x) O a f(x) b x 点x，都有一个确定的积分值与之对应(图5x x x+Dx 6)，所以它在a,b上定义了一个函数，记作F(x)

12、即 F(x)=xaf(t)dt (axb). (2) 函数F(x)具有如下重要性质： 定理1 如果f(x)在区间a,b上连续，则由(2) 式定义的积分上限的函数F(x)在a,b上可导，且有 xF(x)=f(t)dt=f(x)ax. (3) 证 当上限在点x处有增量Dx(ax+Dxb)时， DF=F(x+Dx)-F(x)=x+Dxaf(t)dt-f(t)dt=axx+Dxxf(t)dt 由于f(t)在此区间连续，由积分中值定理得 DF=f(x)Dx (x介于x与x+Dx之间). 故 DFDx=f(x)当Dx0时，xx. 再由f(x)的连续性得 F(x)=limDFDx=limf(x)=f(x)

13、xxxDx0推论 若函数f(x)在区间a,b连续，则变上限的函数f(t)dt是f(x)在a,b上的a一个原函数 由推论可知：连续函数必有原函数. 由此证明了上一章给出的原函数存在定理 例1 求下列函数的导数： (1) x0edt; (2) xe-tdt=e-t0x2-t1xcos2tdt. 解 (1) (2) t=x=e2-x. . 1cosxtdt=-xx1costdt=-cos2xxb(x)a(x)例2 设a(x),b(x)均可导，求解 f(t)dt的导数 db(x)=d0f(t)dt+f(t)dta(x)a(x)dxdxd-dxb(x)0f(t)dt =a(x)0f(t)dt+b(x)0

14、f(t)dt =b(x)fb(x)-a(x)fa(x) a(x)注 0f(t)dt是x的复合函数，它由f(t)dt，u=a(x)复合而成，求导时要用复0u合函数求导公式计算，2b(x)0f(t)dt的导数计算与x02a(x)0f(t)dt完全相似 例3 求极限lim00x-costdt102x0x. 解 此极限为型，用洛必达法则求解，故 x02x-limx02costdt1021=lim2x-2xcosx10x94x0x=lim1-cosx5x84x01=lim28=. x05x10x8二、牛顿莱布尼茨公式 现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立. 定理2 牛顿(Newton)莱

15、布尼茨(Leibniz)公式 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则 baf(x)dx=F(b)-F(a) (4) x证 由于F(x)与f(t)dt均为f(x)的原函数，由原函数的性质知 aF(x)=xaf(t)dt+C 上式中令x=a，得C=F(a)；再令x=b，得F(b)=即 baf(t)dt+F(a) baf(x)dx=F(b)-F(a) 公式(4)称为牛顿莱布尼茨公式. 牛顿莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理. 这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法. 在运用时常将

16、公式写出如下形式： 例4 计算解 4baf(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a) (5) 1xdx2. 4241x2dx=lnx=ln4-ln2=ln2. 例5 计算e2xdx. 01解 10e2xdx=212x10e2xd(2x)=12e2x10=12(e-1). 2例6 计算201+x2dx. 解 x1+x320dx=1220(1+x)2-12d(1+x)=21221+x22=05-1. 例7 求2-xdx. -1解 2-x= 2-x,x2,x-2,x2. 由区间可加性，得 3-12-xdx=2-1(2-x)dx+x22232(x-2)dx 23 =2x-=92+12-1x+-2x2

17、2=5. y 例8 求正弦曲线y=sinx在0,p上与x轴所围成的平面图形(如图)的面积. 解 这个曲边梯形的面积 A=y=sinx pp0sinxdx=-cosx0 O p x =-(cops-cos0)=2 例9 设f(x)=11+x102+x310f(x)dx求f(x)dx. 0101解 因为定积分f(x)dx是一个常数，所以，可设f(x)dx=A，故 f(x)=11+x2+xA3 上式两边在0，1上积分得 A=f(x)dx=01111+x20dx+10xAdx=arctanx0+A31x414=0p4+A4， 移项后，得三、总结： 34A=p4，所以A=10f(x)dx=p3 1变上限

18、的积分 如果f(x)在区间a,b上连续，则有 xF(x)=f(t)dt=f(x)ax 2牛顿莱布尼茨公式 ba其中F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)dx=F(b)-F(a)，而原函数可以用不定积分的方法求得 四、作业：练习 3、5 第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法 教学内容： 由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的 一、定积分换元法

19、 定理 假设 (1) 函数f(x)在区间a,b上连续； (2) 函数x=j(t)在区间a,b上有连续且不变号的导数； (3) 当t在a,b变化时，x=j(t)的值在a,b上变化，且j(a)=a,j(b)=b， 则有 baf(x)dx=afj(t)j(t)dt b (1) 本定理证明从略在应用时必须注意变换x=j(t)应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分 例1 计算2x-1x1dx 解 令x-1=t，则x=1+t2,dx=2tdt当x=1时，t=0；当x=2时，t=1 于是 2x-1x1dx=1t1+t20112tdt=21-201+tdt =2(t-arcta

20、nt)0=21-1p4 例2 计算a0a-xdx(a0) 22解 令x=asint，则dx=acostdt当x=0时，t=0；当x=a时，t=y p2故 ap0a-xdx=a22220acostacostdta p =220(1+cos2t)dt p1t+sin2t =22a22=0pa42 O a x 显然，这个定积分的值就是圆x2+y2=a2在第一象限那部分的面积(如上图) p例3 计算2cos5xsinxdx 0解法一 令t=cosx，则dt=-sinxdx 当x=0时，t=1；当x=pp25时，t=0，于是 020cosxsinxdx=-1tdt=-516t601=16 解法二 也可以

21、不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改变 pp即 20cosxsinxdx=-2cosxdcosx055=-16pcos6x2011=-0-= 66此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限 例4 计算解 p01-sinxdx pp01-sinxdx=0xxsin-cosdx22x2x2 注：去绝对值时注意符号 pp =(cos20-sin)dx+p(sin2x2-cosx2p2)dxp=2(sinx2+cosx2)2-2(cosx2-sinx2)00=4(2-1) 例5 计算psinx3+sin20dx x解 设t=cosx，则当x=0时，

22、t=1；当x=p时，t=-1 psinx3+sin20xdx=-1-14-t21dt=114-t2-1dt =2114-t20dt=2arcsint21=0p3 例6 设f(x)在-a,a上连续，证明： (1) 若f(x)为奇函数，则f(x)dx=0； -aaa(2) 若f(x)为偶函数，则f(x)dx=2-aa0f(x)dx a证 由于 a-af(x)dx=00-af(x)dx+a0f(x)dx, 对上式右端第一个积分作变换x=-t，有 故 0-af(x)dx=-f(-t)dt=a0f(-t)dt=a0f(-x)dx a-af(x)dx=a0f(-x)+f(x)dx (1) 当f(x)为奇函

23、数时，f(-x)=-f(x)，故 a-af(x)dx=a00dx=0 (2) 当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，故 a-af(x)dx=pa02f(x)dx=2a0f(x)dx 利用例4的结论能很方便地求出一些定积分的值 例如 p-xsinxdx=0 (4+2x4-x)dx=4261-1(x+4-x)dx=2211-1-1dx+0=8 二、定积分的分部积分法 设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数，由微分法则d(uv)=udv+vdu，可得 udv=d(uv)-vdu 等式两边同时在区间a,b上积分，有 baudv=(uv)ba-bavdu (2) 公式(2)称为定积分

24、的分部积分公式，其中a与b是自变量x的下限与上限 例7 计算e1lnxdx dxxdxx,v=x解 令u=lnx,dv=dx，则du=故 e1lnxdx=xlnx1-pee1x=(e-0)-(e-1)=1 例8 计算解 xcos3xdx 10p0xcos3xdx=3p0xdsin3x=2=-91xsin3x3p0-p0sin3xdx=110+cos3x33p0 p例9 计算40x1+cos2xdx p解 4x1+cos2x1p0dx=40x2cosp402xdx=1p402xdtanx p=(xtanx04-2p1ptanxdx)=(+lncosx24p40)=p8-14ln2 例10 计算4

25、sec3xdx 0ppp解 40secxdx=340secxsecxdx=pp240secxdtanxp =secxtanx4-040tanxsecxtanxdx=pp2-340(secx-1)secxdx p402p =2- =2-40secxdx+sec3340secxdx=2+1) 2-40secxdx+ln(sexc+tanx)p40xdx+ln(p即 24sec3xdx=2+ln(2+1) 注 ：移项得 0p故 140secxdx=x322+12ln(2+1) 例11 计算e0dx 解 先用换元法，令x=t，则x=t2,dx=2tdt 当x=0时，t=0；当x=1时，t=1 于是 再

26、用分部积分法，得 10texdx=2tedt 01t1ex0dx=2tde=2(te01tt10-edt) 01=2e-(e-1)=2 三、总结： 1、定积分换元积分定理：假设 (1) 函数f(x)在区间a,b上连续； (2) 函数x=j(t)在区间a,b上有连续且不变号的导数； (3) 当t在a,b变化时，x=j(t)的值在a,b上变化，且j(a)=a,j(b)=b 则有 baf(x)dx=afj(t)j(t)dt b2、定积分分部积分法：设函数u(x)与v(x)均在区间a,b上有连续的导数，则有 baudv=(uv)ba-bavdu 3、对称区间上的积分：设f(x)在-a,a上连续，则有

27、(1) 若f(x)为奇函数，则f(x)dx=0； -aaa(2) 若f(x)为偶函数，则f(x)dx=2-aa0f(x)dx 四、作业：练习 1、2、3、5 第五节 定积分的应用 教学目的：掌握定积分微元法、面积和旋转体体积求法 难 点：定积分微元法 重 点：面积和旋转体体积 教学内容： 在这一节里，我们讨论定积分在几何、物理等方面的一些应用 我们在引入定积分概念时，曾经讨论了求曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际问题，采用的是“微分求和”的方法我们将区间a,b分成n个小区间，相应地，将所求的量A分割成n份很小的部分量DA在a,b上任取一小区间x,x+dx，以f(x)dx近似代替DA、当分割无

28、限细，f(x)dx的极限就是所求的量A，即定积分实质上，所谓定积分A=微元素dAba我们把f(x)dx称为f(x)dx就是由被积表达式f(x)dx从a到b累积之和，再求出定积分dA，即所求A这ab在定积分应用问题中，先求出微元素dA种方法称为元素法，也称微元法 在用元素法求解实际问题时，应注意要根据条件确定被积函数和积分区间 一、平面图形的面积 本节中将计算一些比较复杂的平面图形面积我们只讨论直角坐标系的情形 我们已经知道，在区间a,b上，一条连续曲线y=f(x)(0)与直线x=a,x=b，x轴所围成的曲边梯形面积A就是定积分f(x)dx这里，被积表达式f(x)dx就是面积ab元素dA 如果求

29、两条曲线f(x)与g(x)之间所夹图形的面积S(图510)，在区间a,b上，当0g(x)f(x)，则有 S=baf(x)dx-bag(x)dx 或 S=baf(x)-g(x)dx (1) 公式(1)对于下图所示情况也成立 y y=f(x) O a y=g(x) b x 如果求两条曲线x=j(y)、x=y(y)之间所夹图形的面积，也可用类似的方法 例1 求两条抛物线y2=x,y=x2所围成图形的面积 解 作两条抛物线的图形，如图所示解方程组 x=0,y=02y=x, 2y=x.y y2=x (1,1) 得两组解及x=1,y=1.即两抛物线交点为O y=x2 x x x+Dx (0,0),(1,1)下面求面积元素： 取x为积分变量区间0,1上的任一小区间x,x+dx的窄条，其面积近似于高为x-x2，底为dx的窄矩形面积这样就得到面积元素 dA=(x-x2)dx 于是，所求图形面积为定积分 A=10323x12(x-x)dx=x2-=33031 y=2x y=x2 (2,4) 本题也可按