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1、指数函数与对数函数图像交点个数问题x探究函数y=a与y=logax图象的交点个数问题 函数y=ax与y=logax (a0,且a1)互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a的取值在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题 y=ax探究 由， 得 y=logax当a1时 xy=a ya=x (其中x0,y0) +，得y+ay=ax+x. 令f(x)=ax+x,x0. 则f(y)=f(x),即f(ax)=f(x). xxa1, f(x)为增函数, a=x. 两边取自然对数,得lna=lnx,即xlna-lnx=0. 令g(x)=xlna-lnx,
2、x0. 求导,得g(x)=lna-当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表： 11 令g(x)=0,得x= xlnax g(x) g(x) (0,1) lna 1 lna0 极小值 (1,+) lna+ 由上表可知,当x=11=1+ln(lna) 时,g(x)极小值=1-lnlnalnag(x)只有一个极值, g(x)min=1+ln(lna). () 当1+ln(lna)0，即ae1e时，方程g(x)=0无解，此时函数y=ax与y=logax的图象没有交点； x() 当1+ln(lna)=0，即a=e时，方程g(x)=0有一解，此时函数y=a与1ey=logax的图象有一个交点； ()
3、 当1+ln(lna)0，即1ae时，由于g(x)在(0,+)内连续，且当x0时，+1eg(x)+；当x+时，g(x)+，方程g(x)=0有两解，此时函数y=ax与y=logax的图象有两个交点 当0a0，且0a1，故0aax1,即0x1 xx对式两边取自然对数，得alna=lnx，即a=lnx lna两边取自然对数，得xlna=ln令h(x)=lnlnx lnalnx1-xlna,x(0,1)求导，得h(x)=-lna lnaxlnx11,x(0,1)则j(x)=lnx+1 由h(x)=0，得xlnx=令j(x)=xlnx-lnalna111由j(x)=0，得x= 当x(0,)时，j(x)0
4、 eee1111当x=时，j(x)min=j=- eeelna11110，即ae时，j(x)0恒成立xlnx () 当-，0a1，elnaelna1110x1，-lna0，即h(x)0，当且仅当a=e，且x=时取“”号 xlnxeeh(x)在(0,1)内是减函数 又当x0+时，h(x)+；当x1-时，h(x)-，且h(x)在(0,1)内连续，方程h(x)=0恰有一解，此时函数y=a与y=logax的图象有一个交点 () 当-x1111-0，即0a0，且j(x)在+-x0x1elnaelna11(0,1)内连续，存在m(0,),n(,1)，使得j(m)=j(n)=0，h(m)=h(n)=0. e
5、e当x变化时，h(x),h(x)的变化情况如下表： x (0,m) (m,n) + (n,1) h(x) h(x) 由上表可知，h(x)在(0,m)内是减函数，在(m,n)内是增函数，在(n,1)内是减函数. 1e下面证明,h(a)0. 1e1lnah(a)=ln-aelnalna1e1e1e=-1-alna1ee1e,0a1ee. 令F(a)=-1-alna,0a. 则当0a-ae(lne+1)=0. eaeeeF(a)在(0,111)(0,0a内是增函数, 又在上连续, 当时, F(a)eeeeee11F(a)F(e)=0,即h(ae)0. e11111=-ln(-lna)-lna,0ae. h=lne-lnaeeelnae1G(a)=-ln(-lna)-lna, e11110ae.易证它为减函数, 当0aG(e)=0,即h0. eeeeln令111+-0ae, 0ae0,且a1)图象的交点有如下情况： 当ae时，没有交点； 当a=e时，有一个交点； 当1ae时，有两个交点； 1e1e1ex1e1e1a1时,有一个交点； ee1当0ae时，有三个交点 e当
