圆心角弦弧关系.docx

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1、圆心角弦弧关系圆心角、弦、弧之间的关系 回顾1.圆是 对称图形,它的对称中心是 O2._叫做圆心角 3、垂径定理: 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 知识要点归纳 1. 圆不但是轴对称图形,而且也是中心对称图形,实际上圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 4. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意:要正确理解和使用圆心角定理及推论。

2、不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,若没有这一条件虽然圆心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 这两个结论都是错误,首先CE、FD不是弦,CEA、BFD不是圆心角,就不可以用圆心角定理推论证明。 OCEAFBD 同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧,一般选择劣弧。 在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要,选择有关部分,比如“等弧所对的圆心角相等”,在“同圆中,相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1的弧:因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,我们把每一份这样的弧叫做1的弧。 一般地,N的圆心角对着N

3、的弧,N的弧对着N的圆心角,也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 如图,同心圆,虽然AOB=COD,但ABCD,而且ABCD,弦心 注意:这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等,距也不相切。 在书写时要防止出现“AOB=AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧,但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而大,反之弦心距较小时,则弦较大。 当弦为圆中的最大弦时,弦心距缩小为零;当弦逐步缩小时,趋近于零时,弦心距逐

4、步增大,趋近于半径。 在同圆或等圆中,如果弧不等,那么弧所对的弦、圆心角也不等,且大弧所对的圆心角较大,反之也成立。 注意:不能认为大弧所对的弦也较大,只有当弧是劣弧时,这一命题才能成立,半圆对的弦最大,当弧为优弧时,弧越大,对的弦越短。 ODCAB 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义,从而正确运用上述关系。 下面举四个错例: 若O中,AC=DB,则CE=FD,CEA=DFB 7. 辅助线方法小结: 有弦的中点时,常连弦心距,进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理;另外,证明两弦相等也常作弦心距。 在计算弧的度数时,或有等弧的条件时,或证等弧时,

5、常作弧所对的圆心角。 有弧的中点或证弧的中点时,常有以下几种引辅助线的方法: 连过弧中点的半径;连等弧对的弦;作等弧所对的圆心角。 1. 如图,将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系? 相等的弦: ;相等的弧: 理由: 结论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 相等,所对的弦也 表达式: 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 相等,所对的弦也 表达式: 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的 也相等 表达式: 注:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也 。 5、在圆心角、弧、

6、弦这三个量中,角的大小可以用度数刻画,弦的大小可以用长度刻画,那么如何来刻画弧的大小呢? 弧的大小:圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图,AB、AC、BC都是O的弦,AOC=BOCABC与BAC相等吗?为什么? OABC例题2、已知:如图,AB是O的直径,点C、D在O上,CEAB于E,DFAB于F,且AE=BF,AC与BD相等吗?为什么? CD AOEFB如图,在O中, = ,AC BD 1=30,则2=_ 一条弦把圆分成1:3两部分,则劣弧所对的圆心角为 _。 4. O中,直径ABCD弦,AC度数=60,则BOD=_。 5. 在O中,弦AB的长恰好等于半径,弦AB所对的圆心角为 6

7、.如图,AB是直径,BCCDDE,BOC40,AOE的度数是 。 典型例题: 例1如图,在O中,AB=AC,AOB=60 ,求证AOB=BOC=AOC 例2. 如图,在O中,AB、CD是两条弦,OEAB于点E,OFCD于点F, 如果AOB=COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么? 如果OE=OF,那么的大小有什么关系?为什么?AB与CD的大小有什么关系?为什么?AOB与COD呢? 归纳: 。 1.如果两个圆心角相等,那么 A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对 2下列说法中,正确的是 A等弦所对的弧相等 B等弧所

8、对的弦相等 C圆心角相等,所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等 3.如图,AB是O的直径,BCCD=DE, COD=35,求AOE的度数。 EDC AOB 二、探究新知 探究:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?你能证明吗? A A(A) B B B(B) O A O 得出: 在等圆中,是否也能得出类似的结论呢? 做一做:在纸上画两个等圆,画AOB=AOB,连结AB和AB,则弦AB与弦AB, 弧AB与弧AB还相等吗?为什么?请学生动手操作,在实践中发现结论依旧成立。 说一说 尝试将上述结论用数学语言表达出来。 思考:在同圆

9、或等圆中,如果两条弧相等,你能得到什么结论?在同圆或等圆中,如果两条弦相等呢?在同圆或等圆中,如果两条弦心距相等呢? 学生小组讨论,归纳得出: 三、例题讲解 例:如图,在O中,弧AB=弧AC,ACB=60, 求证:AOB=BOC=AOC。 四、巩固练习 AEB1. 判断题,下列说法正确吗?为什么? OD如图所示:因为AOB=AOB,所以=. FC在O和O中,如果弦AB=AB,那么=。 2. 已知:如图所示,AD=BC。求证:AB=CD。 变式练习1:已知:如图所示,AB=CD。求证:AD=BC。 O ACDB变式练习2:已知:如图所示,=。求证:AB=CD。 EF CAB变式练习3:已知:如图

10、所示,AB=CD。求证:=。 D12EO3.在圆O中,AC=DB,求证:AE=BF。 CDAMONB4.D、E是圆O的半径OA、OB上的点,CDOA、CEOB,CD=CE,则CA与CB的关系是? 变式练习:已知AB为圆O直径,M、N分别为OA、OB中点,CMAB,DNAB。求证:AC=BD。 5.小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知AOB=2 COD,则有 弧AB=2弧CD ,AB=2CD,你同意他的说法吗? 例1. 已知:如图,在O中,弦AB、CD的延长线交于P点,PO平分APC。 求证:ABCD;PAPC AMBO12PDCN 分析:要证明两弦相等,可利用弧、圆

11、心角、弦心距之中的一种相等来证,由于已知角平分线PO过圆心,利用弦心距相等可以解决。 证明:过O点作OMAB于M,ONCD于N PO平分APC OMON ABCD 此题还有几种变式图形,道理是一样的。 弦AB、DC的交点在圆上,即B、P、D三点重合。 若PO平分APC,求证:PAPC。 AOPC 弦AB、CD交于P点 PO平分APC,求证:ABCD。 AOPDBC 此题还可将题设与结论交换一下,即已知ABCD,求证:PO平分APC,证法与上面一样,利用弦心距等。 在RTPOM和RTPON中, 1=2 OMP=ONP OP=OP DPOMDPON(AAS) PM=PN QAM=12AB,CN=1

12、2CD,AB=CD AM=CN PM+AM=PN+CN 即PAPC 例2. 如图,在O中,AB2CD,那么 AOBCDA.AB2CDB.ABAB,2AFAB AFCD 2AF2CD,即AB2CD 故选A。 解法二: 如图,作弦DE=CD,连结CE,则DE=CD=12CE Q在DCDE中,有CD+DECE 2CDCE QAB=2CD,ABCE ABCE,AB2CD例3. 如图,CD为O的弦,AC=BD,OA、OB交CD于F、E。 求证:OEOF 证法一:连结OC、OD QOC=OD,C=D QAC=BD,COA=BOD DCOFDDOE OE=OF 证法二:过O点作OMCD于N交O于M CM=M

13、D 又QCA=BD,AM=MB AOM=BOM 又QFNO=ENO=90,ON=ON DOFNDOEN OF=OE 例4. 如图,O中AB是直径,COAB,D是CD的中点,DEAB。 求证:EC=2EA分析:在同圆中,要证EC=2EA,考虑分别求出EC和EA的度数,而弧的度数又等于它们所对的圆心角的度数,则关键是求出COE、AOE的度数。 证明:连结OE QED/AB,COAB EDCO QD是CO中点 QOE=OC,OD=12OE,DEO=30 EOD=90-30=60 EC的度数是60 QEOA=DEO=30 AE的度数是30 EC=2EA 例5. 如图,DABC是等边三角形,AB是O直径

14、,AE=EF=FB,CE、CF 交AB于M、N。 求证:AMMNNB 解析一: 由于E、F是半圆AEB的三等分点,故连结OE,知AOE=60,因而DAOE也为等边三角形。所以,EAB=CBA,即AE/BC,则DAMEDBMC,可求得AMBM=12,知AM是直径AB的三等分之一,同理,BN也是AB的三分之一,故问题得证。 证法一:连结OE、AE,设等边ABC的边长为2a QAB为O直径,AE=EF=FB EOA等于13AEB的度数 EOA=13180=60,AO=EO=a DAOE为等边三角形 AE=AO=a 又QEAO=CBA=60,AE/BC DAMEDBMC AMBM=AEa1BC=2a=

15、2 AMAB=13 同理,BNAB=13 MN=AB-213AB=3AB AM=MN=NB 解析二: 连结OE,易知OE/AC,也可求得AMMO,进而可求得AM与半径的比。 证法二: 如图,连结OE,设AC2a,则ACAB2OE2a QCAM=AOE=60,AC/OE OMAM=OEAC=a2a=12 OM+AM3AM2AM=2,即OA=3 故AM1AB=3 同理,BN1AB=3 AM=MN=NB 解析三: 要证AMMNNB,即证AM:MO2:1,故联想到三角形的重心性质,若能证明M是ACG的重心,问题得证。 证明三: 连结AE,并延长交CO的延长线于G 设AC2a,则有AEOAa ACBC,

16、AOOB AOCG,CABGAO60,AOAO AOCAOG OCOG,且AGAC2a AEa,AEEGa 即E为AG中点,O为CG中点 M为ACG的重心 AM=2213AO=3a=3AB 同理,NB=13AB AM=MN=NB AOB D E CAOCEDBBEAOCFD圆心角、弦、弧之间的关系 2013-9-1 15008620708 姓名: 1、下列三个命题:圆既是轴对称图形又是中心对称图形;垂直于弦的直径平分弦; 相等的圆心角所对的弧相等在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么弦也相等。其中真命题的是 A B C D 2如果两个圆心角相等,那么 A这两个圆心角所对的弦相等; B这两个圆心角

17、所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D以上说法都不对 3如图1,如果AB为O的直径,弦CDAB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是 ACE=DE B弧BC=弧BD CBAC=BAD DACAD 4在同圆中,圆心角AOB=2COD,则两条弧AB与CD关系是 A弧AB=2弧CD B弧AB2弧CD C弧AB2弧CD D不能确定 5题 6题 7题 9题 5、如图,已知O中,弧AB=弧BC,且弧AB:弧AMC=3:4,则AOC=_. 6、如图,已知AB,CD是O的直径,CE是弦,且ABCE,C=350,则弧BE的度数为 7如图,AB为O直径,E是弧BC中点,OE交BC于点D,BD=3,A

18、B=10,则AC=_ 8、P为O内一点,OP=3cm,O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为_;最长弦长为_ 9如图,OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么_ 10.在O中,圆心角AOB=90,点O到弦AB的距离为4,则O的直径的长为A42 B82 C24 D16 11.如图,在O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,ODAB于点D,OEAC于点E,且AB=8cm,AC=6cm,那么O的半径OA长_ 12.如图,O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且ABCD,已知CE=1,ED=3则O的半径是 13. 半径为4cm,120的圆心角所对的弦长为 A. 5cm B. 43c

19、m C. 6cm D. 33cm 14. 在O中,圆心角AOB90,点O到弦AB的距离为4,则O的直径的长为 A. 42 B. 82 C. 24 D. 16 15. 如图,AB为O的直径,C、D是O上的两点, BAC=20,弧AD=弧CD,则DAC的度数是 A. 70 B. 45 C. 35 D. 30 16. 一条弦把圆分成1:3两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为_。 17. 一条弦等于其圆的半径,则弦所对的优弧的度数为_。 18. 在半径为R的圆中,垂直平分半径的弦长等于_。 19. 在O中,弦CD与直径AB相交于E,且AEC30,AE1cm,BE5cm,那么弦CD的弦心距OF_cm,弦C

20、D的长为_cm。 22. 已知A、B、C为O上三点,若弧AB、弧BC、弧CA度数之比为1:2:3,则AOB_,BOC_,COA21. 已知O中,直径为10cm,弧AB是O的1_。 ,则弦AB_,AB的弦心距_。 422. 已知:如图,在O中,弦ABCD,且ABCD于E,BE7,AE3,OGAB于G,求:OG的长? 23. 如图,C是O的直径AB上一点,过点C作弦DE,使CDCO,使AD弧的度数为40,求BE弧的度数。 24、如图6,AB是半圆O的直径,C、D是半径OA、OB的中点且OACE、OBDE,求证AE=EF=FB. 25、如图所示,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,交

21、AD,BC于E,F,延长BA交O于G,求证:弧GE=弧EF 26、如图,已知AB和CD是O的两条弦,弧AD=弧BC,求证:AB=CD. C B O D A27、如图,在O中,AB=AC,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC. 28.如图,AOB=90,C、D是弧AB的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:AE=BF=CD 29. 如图:已知,OA为O的半径,AC是弦,OBOA并交AC延长线于B点,OA6,OB8,求AC的长。 30. 如图,ABC中,A=70,O在ABC的三边上所截得的弦长都相等,求BOC的度数。 31. 如图:已知,O中,弧AB=弧BC=弧CD,OB、OC分别交AC、DB于M、N。 求证:OMN是等腰三角形。

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