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1、实验四 傅里叶变换系统的频域分析实验四 傅里叶变换、系统的频域分析 一、 实验目的 1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换 2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性 3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应 二、实验原理 1傅里叶变换的MATLAB求解 MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier及ifourier两者的调用格式如下。 Fourier 变换的调用格式 F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。 F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象
2、v的函数，而不是默认的w，即F(v)=-f(x)e-jvxdx Fourier逆变换的调用格式 f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。 f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x. +注意：在调用函数fourier及ifourier之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明,即将这些变量说明成符号变量。 例4-1 求f(t)=e-2t的傅立叶变换 解: 可用MATLAB解决上述问题： syms t Fw=fourier(exp(-2*abs(t) 例4-2 求F(jw)=11+w2的逆变换f
3、(t) 解： 可用MATLAB解决上述问题 syms t w ft=ifourier(1/(1+w2),t) 2连续时间信号的频谱图 例4-3 求调制信号f(t)=AGt(t)cosw0t的频谱，式中 A=4,w0=12p,t=1tt,Gt(t)=u(t+)-u(t-) 222解：MATLAB程序如下所示 ft=sym(4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4); Fw=simplify(fourier(ft) subplot(121) ezplot(ft,-0.5 0.5),grid on subplot(122) ezplot(ab
4、s(Fw),-24*pi 24*pi),grid 用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是 F(jw)=f(t)e-jwtdt=limf(nt)e-jwntt t0n=-当t足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有 F(k)=f(nt)e-jwknttn=0N-1,0kN,wk=2pk Nt是频率取样点 时间信号取样间隔t应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度
5、要求确定一个频率 W0为信号的带宽。 例4-4 用数值计算法求信号f(t)=u(t+1)-u(t-1)的傅里叶变换 解，信号频谱是F(jw)=2Sa(w)，第一个过零点是p，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50p，据此确定取样间隔，tR=0.02;t=-2:R:2; f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); W1=2*pi*5; N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t*W)*R; 1=0.02 2F0F=real(F); W=-fliplr(W),W(2:501); F=fliplr(F),F(2:501);
6、 subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel(t);ylabel(f(t); title(f(t)=u(t+1)-u(t-1); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel(w);ylabel(F(w); title(f(t)的付氏变换F(w); 3用MATLAB分析LTI系统的频率特性 当系统的频率响应H是jw的有理多项式时，有 B(w)bM(jw)M+bM-1(jw)M-1+L+b1(jw)+b0 H(jw)=A(w)aN(jw)N+aN-1(jw)N-1+L+a1(jw)+a0MATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响
7、应的数值解。其调用格式如下 H=freqs(b,a,w) 其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。 例如，运行如下命令，计算02pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值 a=1 2 1; b=0 1; h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi) 例 4-5 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为 H(jw)=1(jw)3+2(jw)2+2(jw)+1 试画出该系统的幅度响应H(jw)和相
8、位响应j(w)。 解 其MATLAB程序及响应的波形如下 w=0:0.025:5; b=1;a=1,2,2,1; H=freqs(b,a,w); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H);grid; xlabel(omega(rad/s); ylabel(|H(jomega)|); title(H(jw)的幅频特性); subplot(2,1,2); plot(w,angle (H);grid; xlabel(omega(rad/s); ylabel(phi(omega); title(H(jw)的相频特性); 4用MATLAB分析LTI系统的输出响应 例 4-6已知一RC电
9、路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, -t+ 试求该系统的响应y(t) + f(t) - C R + y(t) - 解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为 H(jw)=Rjw =R+1jwCjw+1RC 由此可求出余弦信号cosw0t通过LTI系统的响应为 y(t)=H(jw0)cos(w0t+j(w0) 计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下 RC=0.04; t=linspace(-2,2,1024); w1=5;w2=100; H1=j*w1/(j*w1+1/RC); H2=j
10、*w2/(j*w2+1/RC); f=cos(5*t)+cos(100*t); y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1)+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2); subplot(2,1,1); plot(t,f); ylabel(f(t); xlabel(Time(s); subplot(2,1,2); plot(t,y); ylabel(y(t); xlabel(Time(s); 三、 上机实验内容 1.验证实验原理中所述的相关程序； 2.试用MATLAB求单边指数数信号f(t)=e-atu(t)的傅立叶变换，并画出其波形； 3.设H(jw)=1，试用20.08(jw)+0.4jw+1MATLAB画出该系统的幅频特性H(jw)和相频特性j(w)，并分析系统具有什么滤波特性。
