《数学物理方法第二篇第1章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方法第二篇第1章.docx（84页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、数学物理方法第二篇第1章第二篇 数学物理方程 第一章 希尔伯特空间L2a,b与施斗姆-刘维尔算子 2.2.1希尔伯特空间L2a,b 希尔伯特空间L2a,b是一个函数空间，这里简单地介绍一下，不作专门的理论研究. 2.1.1.1连续函数空间Ca,b 定义在区间a,b上的所有连续的复值函数的集合记为Ca,b，这里区间a,b可以是无限的.Ca,b是一个线性空间，现在在Ca,b空间引入内积运算. 定义1.设f(x),g(x)为空间Ca,b内的任意两个函数，称在黎曼b意义下的积分f(x)g(x)dx为f,g的内积，记作 ab(f,g)=f(x)g(x)dx a这里g(x)表示取g(x)的复共轭. 根据定
2、义，内积满足以下性质： 1.(f,g)=(g,f). 2对任意复数a,b都有 (af+bg,h)=a(f,h)+b(g,h) - 1 - 这里f,g,hCa,b. 3(f,f)0，当且仅当f=0时，(f,f)=0. 可见Ca,b是一内积空间. 引入空间Ca,b内的范数. 定义2.设f(x)为Ca,b内任意一个函数，称实数(f,f)为函数f(x)的范数，记为f. 显然范数与内积满足关系式 (f,g)它就是Cauchy-Schwarz不等式. fg， 范数具有以下明显的性质. 1f0，当且仅当f=0时，f=0. 2对任意复数a，有af=af. 3成立三角不等式 f+gf+g. 现在引入连续函数空间
3、Ca,b中函数序列收敛的概念. 定义3.设Ca,b中的一个函数序列fn(x)，如果有函数f(x)，使得 2=0, limfn-f=limf-fdxnn+n+a- 2 - b12则称函数f(x)为函数序列fn的极限，记为limfn=f. n+这种收敛的概念与高等数学中的序列收敛的定义是不同的，通常称fn为以范数收敛或平均收敛，为方便，也可简称平均收敛为收敛. 高等数学中有一个判定序列收敛的著名的哥西准则.称凡是满足哥西准则的Ca,b中的函数序列fn(x)为基本列，即如果f(x)是基本列，那么对于任意给定的e0，总存在自然数nN=N(e)，当n,mN时都有fn-fme，反之亦然. 应当指出，在空间
4、Ca,b中，基本列fn的极限未必是连续函数，即基本列fn在Ca,b中未必收敛.不能使得每一个基本列都收敛的空间称为不完备空间.可见，空间Ca,b是不完备的. 为了便于极限运算，可以将不完备的内积空间Ca,b完备化，并且称Ca,b的完备化空间为L2a,b空间. 所谓完备化，就是在Ca,b中增加所有基本列的极限函数.设函数序列fn是Ca,b中的基本列，则定义函数f(x)为 f(x)=limfn(x). n+这样，若fn本身在Ca,b中为收敛于f0的基本列，则取f=f0.若，则Ca,b中两个基本列fn与gn满足fn-gn0- 3 - 规定limfn=limgn. n+n+2.1.1.2L2a,b空间
5、 由此可见，函数空间L2a,b中所有函数f(x)都可以表示为连续函数序列fn的极限.于是，可以这样来引入L2a,b中的线性运算与内积运算. 定义4.设fn，gn是Ca,b中的两个基本列，记limfn=f，n+n+limgn=g，则定义 af+bg=lim(afn+bgn)，这里a,b为复数， n+(f,g)=nlim(fn,gn) + 由于afn+bgn仍是Ca,b中的基本列，(fn,gn)是复数域中的基本列，因此上面的定义是合理的. 由此，L2a,b空间中函数f的范数定义为 f=(f,f). 显然，成立定理1. b1定理1.设fn是Ca,b空间中的基本列，则数列fn(x)dx是复平a1面上的
6、基本列，这里区间a1,b1是区间a,b的任意一个子区间. b1这样，数列fn(x)dx是复平面上的基本列，并且有复数A为a1- 4 - b1A=limn+a1fn(x)dx. 于是我们定义 定义5.设fn是Ca,b空间中的基本列，a1,b1a,b，记f(x)=limfn(n+b1x那么我们称数列fn(x)dx的极限A为函数f(x)，a1b1在a1,b1上的勒贝格(Lebesgue)积分，记为f(x)dx，并说f(x)在a1a1,b1上勒贝格可积. 显然，若f(x)在a,b上黎曼可积则它的黎曼积分与它的勒贝格积分相等.今后如不特别声明，本书中的积分均指勒贝格积分. 注意到Ca,b中基本列的有界性
7、，因此数列fn样L2a,b中函数f的范数也可用积分表示： 22f=limfndx=fdx0,q(x)0，r(x)r0=const0. 我们考虑空间L2(a,b,r(x)，其内积为带权因子r(x)的积分定义，b记为 (f,g)r=r(x)f(x)g(x)dx, a从而其范数为 f2=r(x)f(x)dx. ab12r若(f,g)r=0则记f,g带权因子r正交，r=1就是通常意义下的正交. 2.1.1.5施斗姆-刘维尔本征值问题 称方程 Ly=ly 即 ddyp(x)-q(x)y(x)+lr(x)y(x)=0 dxdx为施斗姆-刘维尔方程,是数学物理问题中常见的一种微分方程，这里l是参数. - 1
8、0 - 施斗姆-刘维尔方程Ly=ly在不同情况下应与如下几种边界条件构成本征值问题： 若在端点x=a有p(a)0，则在x=a点要附加三类齐次边界条件ay(a)+by(a)=0，这里a2+b20，若a=0,b0为第一类边界条件；若a0,b=0为第二类边界条件. 若p(a)=0,而p(a)0,则在x=a有y(a)为有限的条件称之为自然边界条件. 若在端点x=a，x=b有p(a)=p(b)，则在x=a，x=b有称之为周期性的边界条件y(a)=y(b)，y(a)=y(b). 在上述三类条件之一下，求使得方程Ly=ly有非零解y(x)的值l的问题称之为本征值问题. 对于此，在空间L2(a,b,r)内有
9、有可列无穷多个非负的本征值 0l1l2LlnL 和相应的本征函数 j1(x),j2(x),jn(x), 满足Ljn=lnjn. 这些本征函数j1(x),j2(x),jn(x),构成L2(a,b,r)空间内的标准正交完全系，且有 - 11 - br(x)jan(x)jm(x)dx=0,(nm,n,m=1,2,3,.) 若f(x)L2(a,b,r)，则有傅里叶级数 f(x)=Cnjn(x)， n=1+其中 Cn=1b2jnrar(x)f(x)jn(x)dx. 例5: 证明施斗姆-刘维尔本征值问题 Ly=ly这里p(a)0,p(b)02222ay(a)+by(a)=0ay(b)+by(b)=0,a+
10、b0,a+b122112201的本征函数系jn (n=1,2,)在区间a,b上是带权因子r(x)正交的. 证：设ln,lm(nm)为两个不相等的本征值，jn(x),jm(x)分别是它们的对应的本征函数，即Ljn=lnjn，Ljm=lmjm，并且满足 (a)+b1jn(a)=0,a2jn(b)+b2jn(b)=0,a1jn(a)+b1jm(a)=0,a2jm(b)+b2jm(b)=0. a1jm注意到p(x),q(x),r(x)都是实值函数，所以有 rLjn=lnrjn, rLjm=lmrjm 用jm乘以第一式，jn乘以第二式，相减，并在a,b上积分，注意到算子L的特点得： - 12 - (ln
11、-lm)r(x)jn(x)jm(x)dxabdjmdjndd-jm(x)p(x)=jn(x)p(x)dx dxdxdxdxab(x)=p(x)jn(x)jm(x)-jm(x)jna (b)=p(b)jn(b)jm(b)-jm(b)jn-p(a)j(a)j(a)-j(a)j(a)nmmnb注意到边界条件中a1,b1不同时为零，a2,b2不同时为零，所以系数行(b)jn(b)(a)jn(a)jnjn=0， =0 列式 (b)jm(b)(a)jm(a)jmjm因此，得： (ln-lm)r(x)jn(x)jm(x)dx=0， ab而lnlm，故得本征函数系jn(x)带权因子r(x)正交，即 br(x)
12、jan(x)jm(x)dx=0. 2.1.2线性常微分方程的级数解法 二阶线性齐次常微分方程的一般形式是 w(z)+p(z)w(z)+q(z)w(z)=0, 其中自变量z是复数. - 13 - 如果函数p(z),q(z)在z=z0点解析，则称此点z0为方程的常点.如果z0是p(z)的至多一阶极点，是q(z)的至多二阶极点，即 p(z)=j(z)z-z0, q(z)=y(z)(z-z0)2其中j(z),y(z)在z0点解析，那么点z0称为方程的正则点. 我们仅讨论方程在常点邻域、正则点邻域内的级数解，给出幂级数的解法. 2.1.2.1常点邻域内幂级数解法 不失一般性，只讨论x=0点为常点的幂级数
13、解法，如果x00， 就令t=x-x0，化为在原点内讨论了. 例6：在x=0点的邻域内求解艾里方程y(x)-xy(x)=0的幂级数解. 解：设y(x)=cnxn, cn是待定的常数. n=0+ y(x)=ncnxn=0+n-1=ncnxn-1 , n=1+y(x)=n(n-1)cnxn=1+n-2=n(n-1)cnxn-2 n=2+代入方程，有 n(n-1)cnxn=2+n-2-cnxn+1=0 n=0- 14 - 合并同类项，得 21c2+(n+2)(n+1)cn+2-cn-1)xn=0 n=1+比较两边同次幂项的系数得： x0: 2c2=0x: (n+2)(n+1)cn+2-cn-1=0,
14、n=1,2,3,n由此得 c2=0，还有递推关系式 cn+2=当n=1时 c3=cn-1, n=1,2,3, (n+2)(n+1)c01=c0 323!c2当n=2时 c4=1=c1 434!c当n=3时 c5=2=0 54c14c0 当n=4时 c6=3=656!c25c1 当n=5时 c7=4=767!c当n=6时 c8=5=0 87于是，易得 c3m=14(3m-2)25(3m-1)c0, c3m+1=c1 (3m)!(3m+1)!故得艾里方程的通解： +147(3m-2)3m258(3m-1)3m+1y(x)=c0x+c1x+x1+3m!3m+1!()()m=1m=1其中c0,c1为任
15、意实常数.艾里方程的两个线性无关解为： - 15 - y1(x)=1+147(3n-2)3nx, x+(3n)!n=1+y2(x)=x+258(3n-1)3n+1x, x+(3n+1)!n=1+例7：在x=0点的邻域内，求解方程 (1-x)y(x)+xy(x)-y(x)=0 2解：x=0点是此方程的常点，设y(x)=cnxn n=0+ y(x)=ncnxn=1+n-1 , y(x)=n(n-1)cnxn-2 n=2+代入方程，有 +n(n-1)cxnn=2n-2-n(n-1)cnx+ncnx-cnxn=0 nnn=2n=1n=0合并同类项，得 n+2)(n+1)cn+2-(n-1)(2c2-c
16、0)+32c3x+(n=2+2cnxn=0 比较两边对应次幂的系数，得 x0: 2c2-c0=0, x1: 6c3=0x: (n+2)(n+1)cn+2-(n-1)cn=0, n=2,3,4n21由此有 c2=c0, c3=0 2n-1)(c递推公式 cn+2=(n=2,3,4,) (n+2)(n+1)n, 2- 16 - 当n=2时 c4=c21=c0 434!22c3=0 当n=3时 c5=54321232c4=c0 当n=4时 c6=656!42c5=0 当n=5时 c7=7652123252c6=c0 当n=6时 c8=878!(2n-3)!c, n=2,3,4, 所以一般地有 c2n
17、+1=0, c2n=()0(2n)!2x2+(2n-3)!22n得解为 y(x)=c1x+c01+x, c0,c1为任意常数,2!n=2(2n)!此方程的两个线性无关的解是 (2n-3)!xx2n. y1(x)=x, y2(x)=1+2!n=2(2n)!2+22.1.2.2正则点邻域内的幂级数解法 不失一般性，只讨论x=0点为方程正则点的方程的幂级数解法. 例8:在x=0点的邻域内求方程 4xy(x)+2(1-x)y(x)-y(x)=0 - 17 - 的幂级数解. 解：显然x=0是方程的正则点.为此设方程的解为 y(x)=cnxn+r, 不妨设c00 n=0+求导有 y(x)=cn(n+r)x
18、n=0+n+r-1 , y(x)=cn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+代入方程得 4c(n+r)(n+r-1)xnn=0+n=0n=0+n+r-1+2cn(n+r)xn+r-1n=0+-2cn(n+r)xn+r-cnxn+r=0消去xr，合并同类项，得 n2(2r-1)rc0+2(n+r)(2n+2r-1)cn-(2n+2r-1)cn-1x=0 n=1+比较同次幂的系数，得 2(2r-1)rc0=02(n+r)(2n+2r-1)cn-(2n+2r-1)cn-1=0, (n=1,2,3,)由于c00，得到关于r的一元二次方程r(2r-1)=0，这个方程称之为指标方程，通常取实部较
19、大的那个根为r1，较小的那个根为r2，1这里有r1=, r2=0 2c1将r1=代入第二式得递推关系式：cn=n-1, n=1,2,3, 22n+1- 18 - cc11当n=1时，有c1=c0,当n=2时有c2=c1=0=0,，一般地有 35535!cn=c02n+1!()从而得 y1(x)=c0由于r1-r2=xn. x2n+1!)n=0(+11-0=不为整数，因此找方程的与y1(x)线性无22+n+r2关的解可设为 y2(x)=dnxn=0=dnxn. n=0+(x)=ndnx这样 y2n=1+n-1(x)=n(n-1)dnxn-2, , y2n=1+代入方程，得 4n(n-1)dxnn
20、=2+n=1+n-1+2ndnxn=1+n-1-2ndnx-dnxn=0nn=1n=0+n(2d1-d0)+(2n+2)(2n+1)dn+1-(2n+1)dnx=0比较同次幂的系数得 2d1-d0=0, (2n+2)(2n+1)dn+1-(2n+1)dn=0, (n=1,2,3,) 由此得到系数的递推关系式： d1=d0,2dndn+1=, (n=1,2,3,)2(n+1)当n=1时，有 d2=d1d0= 44!- 19 - 当n=2时，有 d3=一般地， 有 dn=d2d0= 66!d0, (n=1,2,3,) 2n!()这样得 y2(x)=故得方程通解 d0nx, 2n!()n=012+x
21、xn, y(x)=y1(x)+y2(x)=c0+d02n+1!2n!)n=0(n=0(+n+这里c0,d0为任意常数. 例9:在x=0点邻域内求方程 xy(x)-xy(x)+y(x)=0 的幂级数解. 解：显然x=0是方程的正则点，设方程的解为 y(x)=cnxn+r, n=0+这里r,cn都是待定的常数，不失一般性，总假定c00，否则把不为零的那项的x的幂指数并入r内. y(x)=cn(n+r)xn=0+n+r-1 , y(x)=cn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+为方便起见，方程两边乘以x，得 x2y(x)-x2y(x)+xy(x)=0, 代入上式得 - 20 - c(n+
22、r)(n+r-1)xnn=0+n+r-cn(n+r)xn=0+n+r-1+cnxn+r+1=0 n=0+消去xr，合并同类项，化简得 nc0r(r-1)+cn(n+r)(n+r-1)-(n+r-2)cn-1x=0 n=1+注意到c00，得指标方程r(r-1)=0，与递推关系式 cn=n+r-2c, n=1,2,3, (n+r)(n+r-1)n-1指标方程有两个根r1=1, r2=0, 将r1=1代入递推关系式得 cn=n-1cn-1, n=1,2,3, n(n+1)当n=1时，得c1=0，于是得cn=0, n=1,2,3, 因此得 y1(x)=c0x. 由于这里r1-r2=1为整数，为了求得与
23、y1(x)线性无关的第二个解，这时设 +y2(x)=gy1(x)lnx+dnxn+r2n=0+ =gy1(x)lnx+dnxnn=0由于y1(x)=c0x,为简单起见，记A=gc0，于是有 - 21 - y2(x)=Axlnx+dnxn， A,dn为待定常数， n=0+(x)=Alnx+A+ndnx于是y2n=1+n-1A+(x)=+n(n-1)dnxn-2, ,y2xn=2代入变形后的方程中，得 Ax+n(n-1)dnx-Ax-Axlnx-ndnxn22n=2n=1+n+1+Axlnx+dnxn+1=02n=0+合并同类项，化简有 (A+d0)x-(A-2d2)x比较同次幂系数得 2n+nn
24、-1d-n-2dx()()nn-1=0 n=3+A+d0=0, A-2d2=0dn= n-2dn-1, n=3,4,5,n(n-1)这里A0，取A=1,得 d0=-1, d2=1 211d2= 3223!21d3=当n=4时 d4= 4334!当n=3时， d3=依次类推得，一般式 dn=1, n=2,3,4, (n-1)n!+xn于是得 y2(x)=xlnx-1+. n=2(n-1)n!- 22 - +xn故方程的通解为 y(x)=c0x+A, xlnx-1+n-1n!()n=2这里c0,A为任意常数. 例10: 在x=0点邻域内求方程 x21+x2y(x)-2y(x)=0 的幂级数解. 解
25、：显然x=0是方程的正则点，设方程的解为 y(x)=cnxn+r, 不妨设c00. n=0+()y(x)=cn(n+r)xn=0+n+r-1 , y(x)=cn(n+r)(n+r-1)xn+r-2, n=0+因满足方程，代入得 (n+r)(n+r-1)cxnn=0+n+r+(n+r)(n+r-1)cnxn=0+n+r+2-2cnxn+r=0n=0+消去因子xr，合并同类项得 (r+2-r-2)c0+(r2+r-2)c1x+(n+r)2-(n+r)-2c+(n+r-2)(n+r-3)cxn=0nn-2n=2()由于c00，得指标方程 r2-r-2=0, 与系数的递推关系式： (r2+r-2)c1
26、=0, cn=(n+r-2)(n+r-3)c, n=2,3,4, (n+r-2)(n+r+1)n-2- 23 - 解指标方程得两个根：r1=2, r2=-1. 将r1=2代入系数的递推关系式中，有 n-1cn-2, n=2,3,4, n+313c0 当n=2时，有 c2=-c0=-5532当n=3时，有 c3=-c1=0 6323c0 当n=4时，有 c4=-c2=(-1)775 c1=0, cn=-当n=5时，有 c5=0 依次类推得 c2m=-由此得 2m-13mc2m-2=(-1)c0; c2m+1=0 2m+32m+32m+1()()y1(x)=c2nxn=0+2n+22+3n2n+2
27、=c0x. (-1)x+2n+32n+1()()n=1由于r1-r2=3整数，为求一个与y1(x)线性无关的第二个解， 设 y2(x)=gy1(x)lnx+dnxn=0+n+r2=gy1(x)lnx+dnxn-1, n=0+g(x)=gy1(x)lnx+y1(x)+(n-1)dnxn-2, y2xn=0y1(x)+2g(x)=gy1(x)lnx+(x)-g2+(n-1)(n-2)dnxn-3, y2y1xxn=0- 24 - 代入方程有 x(1+x)gy(x)-2gy(x)lnx+g(2x+2x)y(x)-g(1+x)y(x) 22321111+(n-1)(n-2)dnxn=0+n-1+(n-
28、1)(n-2)dnxn=0+n+1-2dnxn-1=0, n=0+注意到y1(x)是方程的解，故上式中含有lnx的那一项为零， 又 y1(x)=c2nxn=0+2n+2(x)=(2n+2)c2nx2n+1 , , y1n=0+于是得到 +2n+22n+4g(4n+3)c2nx+(4n+3)c2nx+n(n-3)dnxn-1n=0n=0n=0+(n-1)(n-2)dnxn+1=0n=0+合并同类项，有 +2g3c0x+(4n+3)c2n+(4n-1)c2n-2)x2n+2-2d1n=1 +n(n-3)dnxn=2+n-1+(n-1)(n-2)dnxn+1=0n=0+于是 +2g3c0x+(4n+
29、3)c2n+(4n-1)c2n-2)x2n+2+(-2d1)n=1+(-2d2+2d0)x+0x2+(n(n-3)dn+(n-3)(n-4)dn-2)xn-1=0n=4+上式中关于x2项的系数有3gc0=0,而c00,得g=0,从而有 - 25 - x0: -2d1=0, d1=0x: 2(d0-d2)=0, d2=d0xn-1: dn=-当n=4时， d4=0, 1-3d3 当n=5时， d5=-d3=553n-4dn-2, n=4,5,6,7,n依次类推d2m=0; d2m+1=(-1)由此得解 m+13(2m+1)(2m-1)d3, (m=2,3,4,) 3436381y2(x)=d0+
30、x+d3x2-x+x-x+, 537597x最后得方程的通解为： 2+3n12n+2y(x)=c0x+-1x+d+x()0, (2n+3)(2n+1)xn=1这里c0,d0为任意常数. 例11：在x=0点的邻域求方程 x(x-1)y(x)+(2x-1)y(x)+1y(x)=0 4的幂级数解. 解：x=0点是方程的正则点.设方程的解为 y(x)=cnxn+r n=0+这里r,cn都是待定的常数，不失一般性设c00 - 26 - y(x)=cn(n+r)xn=0+n+r-1 ,y(x)=cn(n+r)(n+r-1)xn+r-2 n=0+代入方程，有 (n+r)(n+r-1)cxnn=0+n+r-(
31、n+r)(n+r-1)cnxn=0+n+r-1+2(n+r)cnxn+rn=0+-(n+r)cnxn=0+n+r-11+cnxn+r=0n=04+消去因子xr，得 1n+22n-1n+r+n+r+cx-n+rcx=0 ()()()nn4n=0n=0+上式两边乘以x，有 212-rc0+n+r-cn-1-(n+r)cnxn=0 2n=12+由于c00，得到指标方程 r2=0, 与系数的递推关系式 1n+r-22n+2r-1()2c=cn=cn-1, n=1,2,3, n-122(n+r)2(n+r)2由此得指标方程的两个根：r1=r2=0，将r1=0代入上式有 2n-1)(cn=2(2n)2cn-1, n=1,2,3 从而得到， (2n-1)!cn=(2n)!c0, n=1,2,3 - 27 - 2于是有 +(2n-1)!2ny1(x)=c01+x, n=1(2n)!这里由于r1=r2=
