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1、第二节 证明不等式的基本方法,1.比较法证明不等式可分为_比较法和_比较法两种,a-b0,a-b=0,ab,ab,a-b0,求差,求商,2.综合法与分析法(1)分析法证明命题时，从所要证明的结论入手向已知条件反推，直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，这是一种“_”的证明方法.(2)综合法一般地，从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出所要证明的结论，这种证明不等式的方法称为综合法.综合法又叫“_”.,执果索,因,由因寻果法,3.放缩法（1）通过_（或_）分式的分母（或分子），或通过_（或_）被减式（或减式）来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法.（2）理论依据
2、ab,bca_c.4.几何法证明不等式的几何法是指：通过构造几何图形，_来证明不等式的方法.思路：利用图形的直观性数形结合求证.,缩小,放大,放大,缩小,利用几何图形,的性质,5.反证法反证法是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立，其步骤是：（1）作出否定结论的_；（2）进行推理，导出_；（3）否定假设，肯定_.,假设,矛盾,结论,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若 则x+2yx-y.()（2）已知ab-1,则()（3）设(ba0)，则st.()（4）证明 可用比较法证明.(),【解析】（1）错误.若x-yb-1,a+1b+10,（3）错误.ba0,a-
3、b0,st.（4）错误.该不等式无论用求差法还是求商法都不好证明，最好用分析法.答案：（1）（2）（3）（4）,考向 1 比较法证明不等式【典例1】（1）设cba,证明：a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.（2）当a,b(0,+)时，【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑用求差法证明.(2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用求商比较法证明.,【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2)+
4、b(b2-a2)+c(a2-b2）=（c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c)=(b-a)(c-b)c+b-(b+a)=(b-a)(c-b)(c-a).,cba,b-a0,c-b0,c-a0,ab2+bc2+ca2a2b+b2c+c2a,即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2.(2)当a=b时，当ab0时，当ba0时，综上可知，当a,b(0，+)时，成立.,【互动探究】在本例题（2）的条件下，证明【证明】,【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤1.求差比较法的一般步骤及变形的常用方法(1)求差比较法的一般步骤是：求差、变形、判断符号、得出结论.（2）常用的变形方法有:因式分解
5、、配方、通分、拆项、添项等.2.求商比较法的一般步骤及注意事项(1)求商比较法的一般步骤是：求商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)注意事项：利用求商比较法时，要注意分母的符号.,【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用求商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用求差比较法时，也常用求商比较法.,【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明（px+qy)2px2+qy2.,【证明】（px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxyp+q=1,p-1=-q,q-1=-p.故（px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2x
6、y)=-pq(x-y)2.由于p,q为正数，故-pq(x-y)20,故（px+qy)2px2+qy2,当且仅当x=y时，不等式中等号成立.,考向 2 综合法证明不等式【典例2】已知a,bR+,且a+b=1,求证：【思路点拨】分析不等式左边的特点结合已知条件，利用平均值不等式证明该不等式.,【规范解答】方法一：左边=当且仅当a=b时，等号成立.即原不等式成立.,方法二：a，bR+，且a+b=1,当且仅当a=b时，等号成立.,【拓展提升】证明不等式的方法及注意事项(1)注意事项：运用性质时，要注意性质成立的前提条件.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时
7、，要注意性质成立的前提条件.,【变式训练】已知a,bR+,且a+b=1,求证：【证明】方法一：a，b（0，+），且a+b=1,当且仅当a=b时，等号成立.,方法二：当且仅当a=b时，等号成立.方法三：,考向 3 利用分析法证明不等式【典例3】已知x0,y0,求证：【思路点拨】待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,可考虑用分析法证明.两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可.,【规范解答】要证明只需证(x2+y2)3(x3+y3)2，即证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6，即证3x4y2+3x2y42x3y3,x0,y0,x2y20.即证3
8、x2+3y22xy,3x2+3y2x2+y22xy,3x2+3y22xy成立，,【拓展提升】1.综合法与分析法的逻辑关系（1）用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.（2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤.（3）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,2.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和平均值不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理
9、的每一步必须可逆.,【变式训练】已知a0,b0,2ca+b,求证：【证明】要证：只需证：只需证：只需证：(a-c)2a2+ab.a0,只需证2ca+b,由题设，上式显然成立.故,考向 4 用反证法证明不等式【典例4】若a3+b3=2，求证:a+b2.【思路点拨】直接证明a+b2比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.,【规范解答】方法一:假设a+b2,而但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,a2-ab+b20.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b21.1+aba2+b22ab.从而ab1.a2+b21+
10、ab2.(a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4.a+b2.这与假设矛盾，故a+b2.,方法二:假设a+b2，则a2-b,故2=a3+b3(2-b)3+b3，即28-12b+6b2,即(b-1)20，这不可能，从而a+b2.,方法三:假设a+b2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2.ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2).a2-ab+b2ab,即(a-b)20.这不可能，故a+b2.,【拓展提升】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题.(2)关于唯一性、存在性的命题.(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.反证法常见推出的矛盾（1）通过推证，得出与假设矛盾的结论.（2）通过推证，得出与已知矛盾的结论.（3）通过推证，得出自相矛盾的结论.,【变式训练】用反证法证明下列结论：已知0a1，则【证明】假设通分得0a1,1+3a9a(1-a).整理得（3a-1）20.这与平方数不小于0矛盾.假设不成立，则,
