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1、考点知识精讲,中考典例精析,考点训练,举一反三,第21讲矩形、菱形、正方形,考点一 矩形的定义、性质和判定1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线_；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点3判定：(1)有 的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的 是矩形,互相平分且相等,一个角是直角,平行四边形,考点知识精讲,考点二 菱形的定义、性质和判定1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2性质：(1)菱形的四条边，对角线互相，并且每条对角线平分一组对角;(2)菱形既是
2、轴对称图形又是中心对称图形3判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线 的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形,都相等,垂直平分,互相垂直,考点三 正方形的定义、性质和判定1定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形2性质：(1)正方形四个角都是，四条边都；(2)正方形两条对角线，并且互相，每条对角线平分一组对角(3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形(正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定),直角,相等,相等,垂直
3、平分,考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系温馨提示：1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质.2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键.,(1)(2011温州)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.已知AOB60，AC16，则图中长度为8的线段有()A2条 B4条C5条 D6条(2)(2011佛山)依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是()A矩形 B菱形 C正方形 D梯形,D,A,中考典例精析,(3)(2011芜湖)如
4、图所示，从边长为(a4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重复无缝隙)，则矩形的面积为(),D,A(2a25a)cm2 B(3a15)cm2C(6a9)cm2 D(6a15)cm2【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定,中考典例精析,(2011南京)如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CEDC，连接AE，交BC于点F.(1)求证：ABFECF；(2)若AFC2D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形【点拨】(1)证明两三角形全等的方法主要有“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”四种(2)对角线相等或有一个角
5、是直角的平行四边形是矩形,中考典例精析,(2011南京)如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CEDC，连接AE，交BC于点F.(1)求证：ABFECF；(2)若AFC2D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ABDC.ABFECF.ECDC，ABEC.在ABF和ECF中，ABFECF，AFBEFC，ABEC ABFECF.,(2)证法一：ABEC，ABEC，四边形ABEC是平行四边形FAFE，FBFC.四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又AFC2D，AFC2ABC.AFCABFBAF，AFC2D，ABFBAF.FAFB.FAFEFB
6、FC.AEBC.ABEC是矩形,证法二：ABEC，ABEC，四边形ABEC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DBCE.又AFC2D，AFC2BCE.AFCFCEFEC，FCEFEC.DFEC.AEAD.又CEDC，ACDE，即ACE90.ABEC是矩形,(2011宁波)如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G.(1)求证：DEBF；(2)若G90，求证：四边形DEBF是菱形【点拨】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形,中考典例精析,1下列命题中是真命题的是()A对角线互相垂
7、直且相等的四边形是正方形B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C两条对角线相等的平行四边形是矩形D两边相等的平行四边形是菱形,C,举一反三,A,3将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角形的中位线)剪去上面的小直角三角形将留下的纸片展开，得到的图形是(),A,4如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形(含三角形)，若这两个多边形的内角和分别为m和n，则mn不可能是()A360 B540C720 D630,D,5将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则12.,90,6如图，在等边三角形ABC中，
8、点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形答案：(1)30(2)利用定义判定四边形AFCE为矩形,矩形、菱形、正方形训练时间：60分钟 分值：100分,一、选择题(每小题4分，共40分)1(2011哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AOB60，AB5，则AD的长是(),B,2(2010中考变式题)如图，菱形ABCD中，AB5，BCD120，则对角线AC的长是()A20B15C10D5【解析】在菱形ABCD中，ABBC5.BCD120，AC平分BCD，BCA60，ABC是等边
9、三角形，ACAB5.,D,3(2010中考变式题)下列说法不正确的是()A一组邻边相等的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的平行四边形是正方形D有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形,C,4(2012中考预测题)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(),A,【解析】,5(2010中考变式题)如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角
10、的个数为()A4个 B3个 C2个 D1个,B,【解析】由题意知，BEGHEG，则BEHE；BEGHEG，BEH2BEG.点E是AB的中点，AEBE，AEHE.EAHEHA.BEHEAHEHA2EAH.BEGEAHEHAHEG.则与BEG相等的角有3个【答案】B,B,7(2012中考预测题)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC5，过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是()A1.6 B2.5 C3 D3.4,D,A矩形 B菱形C正方形 D等腰梯形【解析】由作图方法可知ACADBCBD，所以四边形ADBC一定是菱形,B,9(2012中考预测题)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所
11、得图形一定是()A矩形 B直角梯形C菱形 D正方形【解析】顺次连接四边形各边中点得平行四边形，另外由对角线垂直可得到平行四边形有一个角是直角，所以得到的是矩形【答案】A,A,10(2011杭州)在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BFDE，现给出下列命题：A是真命题，是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D是假命题，是假命题,二、填空题(每小题4分，共16分)11(2011铜仁)已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的面积是_cm2.【答案】3,12(2011山西)如图，四边形ABCD是平行四边
12、形，添加一个条件：_ _，可使它成为矩形【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形,ABC90(或ACBD等),13(2011潍坊)如图所示，已知长方形ABCD，AB3 cm，AD4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_,14(2010中考变式题)如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_cm(结果不取近似值),三、解答题(共44分)15(10分)(2010中考变式题)如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD.(
13、1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；(2)若AB6，BC8，求四边形OCED的面积,【答案】解：(1)四边形OCED是菱形DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形又在矩形ABCD中，OCOD.四边形OCED是菱形(2)连接OE，由四边形OCED是菱形得，CDOE.OEBC.又CEBD，四边形BCEO是平行四边形，OEBC8，,16(8分)(2011广州)如图所示，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AEAF.求证：ACEACF.【答案】证明：AC是菱形ABCD的对角线，CAECAF.在ACE和ACF中，AEAF，CAECAF，ACAC，ACEACF(SAS
14、),17(12分)(2012中考预测题)如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EOFO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论(3)在(2)的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？,【答案】证明：(1)MNBC，FECBCE.CE平分ACB，ECBACE，FECACE，OEOC.同理可证OFOC，OEFO.,(2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形CE平分ACB，CF平分BCA的外角，由(1)得OEOF，又O为AC的中点，AOCO.四边形AECF是
15、平行四边形又ECF90，,四边形AECF是矩形(3)当ABC是直角三角形，即ACB90时，在(2)的条件下，四边形AECF是正方形,18(14分)(2011河北)如图所示，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；,(3)连接(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（1）证明：四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90.又CEAG，DCEDAG.EDCGDA，DEDG.又ADE
16、GDA90.DEDG.,(2)解：如图所示(注：如图或其他画法正确的相应给分)(3)解：四边形CEFK为平行四边形证明：设CK，DE交于M点四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD.四边形CKGD为平行四边形CKDGEF，CKDG，KMEGDEDEF90.,KMEDEF180，CKEF，四边形CEFK为平行四边形,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
