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1、第十一章 数学探究、数学建模和数学文化,“数学探究”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式“数学建模”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式“数学文化”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式,第一节“数学探究”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式,数学探究的内涵和意义课程标准中对数学探究的教学要求数学探究学习的特点数学探究的教学案例欧拉公式的发现数学探究和操作实验结合的案例折纸中的数学问题开展数学探究的教学建议,一、数学探究的内涵和意义 定义：数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学
2、结论或规律，给出解释或证明。探究对象：主要是面向课内的学习内容。作用:（1）有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程；（2）初步理解直观和严谨的关系。（3）初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建 立严谨的科学态 度和不怕困难的科学精神；（4）有助于培养学生勇于质疑和善干反思的习惯；（5）有助于发展学生创新意识和实践能力。,二、课程标准中对数学探究的教学要求 1.数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。对课题的要求：a.课题的选择要有助于学生对数学的理解；b.有助于学生体验数学研究的过程；c.有助于学生形成发现、探究问题的意识；d.有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性；e.课题应具有一定
3、的开放性,课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。2.数学探究课题来源多样化。a.可以是某些数学结果的推广和深入；b.可是以不同数学内容之间的联系和类比；c.也可以是发现和探索对学生自己来说是新的数学结果。3.数学探究课题如何建立。a.从教材提供的案例和背景材料中发现和建立；b.从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；c.特别鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。,4.学生在数学探究的过程中,应学会查找资料、收集信息、阅读文献。5.学生在数学学习探究过程中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流台作,建立严谨的科学态度和不怕困难的顽
4、强精神。6.在数学探究目的：学生将初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究创造的激情，提高、发现、提出、解决问题的能力，发挥自己的想像力和创新精神。7.高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动。将课内与课外有机地结合起来。例如，可以结合方程的近似求解、导数的应用等内容安排数学探究活动。三、数学学习探究的特点 1.探究性表现在研究课题的结论是未知的。结论的获得也不是由老师传授或从书本上能够直接得到，而是学生通过搜集资料、整理资料，分析问题,最后解决问题得出自己的结论。,2.数学探究学习主由学生自己完成，学生具有高度的 主体性 数学探究学习以学生的自主性学习为基础，学生掌握学习的自主权,在学
5、习活动中有很大的自由度。（1）【在学习内容上】问题的来源：a.可以是教师提供的;b.可以是学生自己选择和确定的c.可以是学科知识的拓展延伸;d.可以是对自然和社会现象的探究;e.可以是己经证明的结论;f.可以是未知的知识领域。（2）【在课题学习的过程中】学生自己制定计划，进行自我监控、自我评价,可以充分培养学生的自主意识和自我教育能力。这种习过程,是学习主体对学习习客体的主动探索和不断创新,从而不断发现客体的特征,不断改进己有的认识和经验,建构自己的认知结构的过程。,3.探究学习具有开放性 首先，学生课题的选择是开放的。可以在教师的指导下,自己选择各自感兴趣的课题;其次，学习的形式是开放的。可
6、以是数学课内知识的扩充,可以是自己感兴趣的数学问题,也可以是数学实验、动手制作等；再次，学习空间是开放的,要求学生从课堂走到课外；学习的途径是开放的；最后，学习结论是开放的。鼓励学生就研究的问题提出自己独特的见解。数学探究学习允许不同的学生按自己的理以及自己熟悉的方式去解决问题,允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料，用自己的思维方式去得出不同的结论,它并不追求结论的唯一性和标准化，这种开放性的特点有利于学生创造思维品质的培养。,4.数学课题学习注重学生在学习过程中的体验 其关键是学习者能否掌握对学的知识有所选择、判断、解释和运用，从而有所发现、有所创造。探究学习十分注重学生在学习过程中的感
7、受和体验。一个人的创造性思维离不开一定的知识基础,而这个基础应该是间接经验与直接经验的结合。间接经验只有通过直接经验才能更好地被学习者所掌握,并内化为个人经验体系的一部分。在探究学习中，学习者通过亲身实践获得感悟和体验，获得丰富的非结构性知识，在思维方式上大量地依靠直觉与顿悟,这些都有益于创造性思维的培养和发展。四、数学探究的教学案例欧拉公式的发现五、数学探究和操作实验结合的案例折纸中的数学问题P264-P277,六、开展数学探究的教学建议（1）教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，指导学生进行数学探究做好充分的准备,并积累指导学生迸行数学探究的资源。（2）教师要成为学生进
8、行数学探究的组织者、指导者、合作者。（3）教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导。（4）数学探究的结果以课题报告或课题论文的方式完成。（5）可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生之间的讨论来评价探究学习的成绩。（6）数学探究报告及评语可以记入学生成长记录,作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。（7）教材在适当的章节应该提供一些数学探究课题的案例和背景材料，可以为教师指数学探究学习提供一些参考性的建议。,第二节“数学建模”在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式,数学建模的内涵和意义课程标准中对数学建模的教学要求数学探建模特点一个中学数学建模的简要案例教
9、育储蓄问题数学建模的教学策略与教学建议,1，数学建模的内涵和意义 定义：运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,现成为不同层次数学教育重要和基本的内容。数学建模是从现实问题中现实问题中寻求建立数学摸型的方法的过程。数学建模可以看成是问题解决的一部分。研究对象:更侧重于非数学领域,但需要用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、工程等学科中的应用数学问题。这类问题则往往还是“原坯”形的问题,怎样将它抽象,转化成一个相应的数学问题这本身就是一个问题。过程：作为问题解决的一种模式,它更突出地表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程;数学工具、方法、模型的选择和分析过程，模型的求解、验
10、证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程。,数学建模可以通过以下框图体现：,实际情景,提出问题,数学模型,数学结果,检验,可用结果,不合乎实际,修改,合乎实际,二、新数学课程标准中对数学建模的要求1.问题是关键，数学建模的问题应是多样的,应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等方面。同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。2.通过数学建模,学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力。3.每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,
11、从不同角度、层次探讨解决方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识。4.学生在发现和决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息。5.学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,与人交流的习惯,并获得良好的情感体验。,6.高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来,把数学建模活动与综合实践活动有机地结合。三、数学建模的特点 数学建模突出的特点是它的实践性。数学建模强调与社会、科学和生活实际的联系，特别是用数学知识发现社会和生活中的问题,并在力所能及的范围内,同时推动学生去关心现实、了解社会、体验人生,并积累一定的感性知识和实践经验。怎样更
12、好地从一般的数学应用过渡到数学建模,这是一个正在被许多园家研究和实践的数学教育课题。我们可以体会出应用题教学变化的一种趋势:问题的来源更生活化,更贴近实际;条件和结论更模糊:可用信息和最终结论更有待学生自挖掘,学好数学的基础知识,对于应用来说绝对是必不可少的。理论是应用 的基础，没有对数学知识本身 的理解和掌握就根本谈不上应用。但有了知识并不等于自然就会应用。,因此我们的数学教学应有意识地为学生创设数学应用意识以便使学生们的应用意识和能力能在实践中得到提高。数学建模的对象确实有许多是以应用题形式出现,但数学建模所涵盖的范围要大的多。常见的文字应用题的求过程常常是找出相应的函数或方程组模型，课本
13、上传统的文字应用题往往有这样的特点：条件清楚准确、不多不少，结论唯一确定,原始问题数学化的过程简单清楚明了,解出的结论也很少需要学生思考是否合乎实际、是否需要进一步调整和修改己有的模型。而这几点往往是一般数学建模过程的难点和“重头戏”所在。,四、一个中学建模的简要案例教育储蓄问题P283五、数学建模的教学策略与教学建议 在中学，特别是高中阶段,可以针对学生的不同发展水平,分层次开展多样的数学活动。形式可以是多种多样的,常见的主要有以三种：（1）结合正常的课堂教学,在部分环节上“切入”应用和建模的内容；专题1 从列方程解应用题到数学建模 专题2 韩信点兵的数学模型 专题3 函数建模容器中小的深度
14、与注水时间的关系 专题4 几何建模（一）飞机飞行的最短路径 专题5 几何建模（二）追截走私船问题 专题6 有关复利的数学模型,专题7 最值模型 专题8“命运的数学公式”专题9 中奖概率 专题10 对策模型嫌疑犯的选择 专题11 水污染治理方案的比较 专题12“连环送”中的折扣问题 专题13 水库中鼻坝高度与挑角的确定 专题14 双瓶输液中的深度问题（2）开展以数学应用和数学建模为主题的课外的活动,（3）数学建模选修课程。其关键是寻找一批适合学生参与的“好问题”，应特别注意以下几点：(1)应努力选择与学生的生活实际相关的问题,并减少对问题不必要的人 为加工和刻意雕琢。(2)数学建模问题的应努力表
15、现出建模的全过程,而不仅仅是问题本身的解决。,（3）数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景、有不同的层次,以便不同水平的学生参与，并注意问题的可扩展性和开放性口（4）应鼓励学生在问题分析决的过程中使用计算工具和成品工具软件。（5）提倡教师自己动手、因地制宜的收集、编制、改造数学应用或建模问题,更适合学生的使用,并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略。学习数学建模好处：更有利于发挥教师的主导作用和学生的主体作用。它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移。在教学的组织中体现“学法”，把教和学融为一体。3.数学建模的学习和实践也应促进了课本内外其他数学知识的学习。同学们在决问题
16、的困惑和克服困难的过程中体会到了数学理论知识的作用。,评价学生在数学建模中的表现时,要重过程、重参与，不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。评价内容应关注以下几个方面:创新性-问题的提出和决的方案有新意。现实性-问题来源于学生的现实。真实性-确实是学生本人参与制作的,数据是真实的。合理性-建模过程中使用的数学方法得当,求解过程 合乎常理。有效性-建模的结果有一定的实际意义口。,数学文化的内涵数学文化的特征数学文化的价值在高中数学教材中体现数学文化的原因在高中数学教材中体现数学文化应达到的目标在高中数学教材中体现数学文化的总体思想和途径在高中数学教材中体现数学文化的具体方案,第三节“数学文化”
17、在高中数学新课程中的地位、功能和呈现方式,一 数学文化的内涵 狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展.广义：除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系.二 数学文化的特征 1.抽象性和形式化.由于这个特征，使得人们对数学文化 的认识不同于对文学、宗教、绘画、音乐等形式的文化;同时，数学文化不是一个有形之物，它不可以通过眼睛、耳朵等其他器官感受到，必须要通过思维活动来体会.2.严密性.3.在应用方面的广泛性,三，数学文化的价值 实际上认识数学的价值就是从文化的层面上来看数学的价值体现.首先，数学 对
18、于人的观念、精神以及思维方式的形成具有十分重要的影响.特别是数学的理性精神被看成是西方文明的核心，而这种以理性精神为核心的西方文明如今在世界上产生了重要影响.深刻理解西方文明意味着必然要理解理性精神，就像M.Kline在西方文化中的数学中指出的，“数学是一种精神，一种理性精神.正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”其次，数学对人的思维具有重要的训练功能,这是数学所具有的最广泛的文化价值.,数学
19、是基础教育科目中公认的训练思维的体操,数学的太部分具体的知识在人的以后的工作、学习中并没有直接的应用,但是它的思维训练却使每一个受教育者在今后的工作中受益无穷.此外，数学的其他方面的价值一直以来都体现在人类历史和科学发展中.例如科学的价值、语言的价值和工具的价值等等.,四.在高中数学教材中体现数学文化的原因,数学文化与数学同在，只要有数学就有数学文化，但是能否认识到数学的文化性取决于人们对数学的认识、理解和运用.数学不仅是数学知识的汇总,更重要的是它包含十分丰富而深刻的文化内涵.,五 在高中数学教材中体现数学文化应达到的目标 数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展
20、起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高学习数学的兴趣。,六、在高中数学教材中体现数学文化的总体思想和途径 从“开始认识数学经历纯粹的数学活动到对数学有了自己的理解”这样一个过程,数学史的作用不仅只是体现在用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料来将学生吸引到数学上，更重要的是数学发
21、展过程中从人类认识数学角度所展示的数学思维的连续性、完整性和思想性和本质性对于数学教育的启发作用。只有在学习数学的过程中或多或少认识到这两个层次,对于数学的兴趣才能持久,才能从根本上喜欢数学,认真去学习数学。对数学文化的理解和认识要以知识和技能的掌握为基础，而对知识和技能的兴趣和理解又要依靠数学文化的帮助。因此数学文化-数学知识与技能训练-达到一定的数学文化层次的理解-更高层次的数学知识和技能的学习和训练。如此螺旋上升，达到思维上的独立和创造性活动。,七、在高中数学教材中体现数学文化的具体方案1.数学家的故事作为数学文化的一种重要展示形式，在高中阶段，有选择的介绍一些数学家的曲折的人生故事和数
22、学的探索道路上不畏艰难、勇于进取的精神。（eg.陈省身、华罗庚、陈景润）2.建议在编写高中数学教材时，将如下内容合情合理的展示教材中，考虑评价问题，可以开辟数学文化专栏，将具有更广泛形式的数学文化系列穿插于教材中。结合标准对数学文化的整合方案必修1（集合、函数概念与基本初等函数I）对数函数中，将对数建立的原因及过程、传入中国的历史穿插进去。必修2（立体几何初步、平面解析几何初步）（1）中国古代的体积理论系列，西方和中国古代推导球体积公式,（2）解析几何的建立和发展的必要性（3）直观和逻辑（4）类比必修数学3（算法初步、统计、概率）（1）中国古代可平方思路按照现在框图进行（2）英国社会统计实例必
23、修数学4（三角函数、平面上的向量、三角恒等变换）天文现象-周期性-“弦表”-基本三角函数的产生-直角三角形中的三角函数-一般的三角函数-三角函数传入中国调和分析,小波，图象压缩向量在物理中,必修五（解三角形、数列、不等式）（1）从测圆海镜 中精心选择几道由浅入深的题目编入“解三角形”中（2）将毕达哥拉斯的形数系列和中国古代有关数列求和的问题编入“数列”中（3）有关优化、线性规划的实例（4）不等关系选修系列:选修系列1、选修系列 2(逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用;统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图；记数原理，统计案例,概率),（1）古希腊数学中的圆锥曲线-圆锥曲线的建立、
24、圆锥曲线对于近现代科学发展的意义（关于开普勒三大运动定理）（2）阿基米德、刘徽、卡西求圆面积,速度模型，导数的几何背景，牛顿与莱布尼兹关于建立微积分的论战。（3）四元数理论的建立选修系列3 信息安全与密码，编码，二进制-莱布尼茨-中国的易经-计算机原理 对称与群 欧拉公式与闭曲面分类 三等分教与数域扩充 球面上的几何中央关于非欧几何诞生、发展的过程,选修系列4 初等数论，陈景润，孙子定理 风险与决策：孙子赛马 开关电路与布尔代数 优选法：华罗庚事迹（选修系列3、4本身就是以数学文化为核心的专题）3.数学文化的渗透可以采取多样化的教学方式【教学内容上】可以介绍有关背景文化知识、作专题演讲、鼓励学
25、生收集阅读文献资料，撰写科普小论文，并组织学生交流。【教学手段上】教师尽可能使用图片、幻灯片、录像以及计算机软件，对有关内容作形象化的处理,第十四章 教材的编写理念与实施 教材是实现课程目标、实施教学的重要资源，高中数学教材的编写，要根据基础教育课程改革纲要(试行)的精神，贯彻高中数学课程的基本理念与要求，为课程的顺利实施提供保证。教材应当有利于调动教师的积极性，创造性地进行教学；有利于改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和发展。,一、教材要有各自的特色和风格 标准中，对内容的设置是分层次、螺旋式展开的。各教材应在高中数学内容的整体结构上和各模块内容的结构上体现出自己的编写风格和特色，数学探
26、究、数学建模、数学文化是高中数学课程中新设置的内容，各教材在这些内容的题材选取、在教材中的呈现以及学习活动的设计上也应突出特色。同时，教材的文字表述、版式设计要生动活泼，能引起学生的兴趣。二、“深入浅出”是教材编写的一个基本原则 本次高中数学课程改革在课程内容上有重大变化，增加了一些新的内容，教材编写能否做到深人浅出，事关本次课程改革的成败。特别是选修系列3、系列4中的一些专题，涉及现代数学的有关内容，教师也不太熟悉，编写教材时，对这些内容的处理要做到直观、具体、有趣，突出本质和思想，避免形式化的处理。,三、教材内容应注意的一些问题.1、素材的选取应具有体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点。2，体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索3，体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学4，注意新理念、新内容在教材编写中的特殊处理5，渗透数学文化，体现人文精神6，内容设计要有一定的弹性7，反映现代信息技术与数学课程的整合,
