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1、对数量幂等矩阵秩的研究黄少武(数学与应用数学 指导教师: 晏瑜敏)摘要：本文是在复数域上研究数量幂等矩阵的秩（满足：）的矩阵之间的秩，主要对它们之间和、差以及换位置的秩的等式的讨论。在此证明过程中的方法主要是借鉴文献13讨论的基础之上，并且利用分块矩阵的高斯消元法，最后进一步给出了其他一些特殊矩阵的秩的等式。关键词：矩阵的秩 数量幂等矩阵 换位置 矩阵初等变换Abstract：In this paper, we study rank of scalar-potent matrix (that is: ),and we mainly discuss the addition、subjection
2、、commutator of the rank equations in them.The methord of the proof mainly bases on references13, and by block Gaussian elimination.we also give same other rank equation of special matrices.Key words：Rank of matrix Scalar-potent matrix Commutator Elementary transformation matrix0 引言 在给出本文的定理之前，首先对在本文
3、中要用到的符号进行说明，并且引入在这证明过程中要用到的一些结论或者定理。幂等矩阵在矩阵论中起着基础性的作用。如果矩阵称为是幂等矩阵当且仅当如果矩阵称为斜幂等矩阵当且仅当（见文献3）。下面用来表示矩阵的秩。分块矩阵：,.,其中是表示矩阵列分块，是一个矩阵的行分块。在这篇文章中用来表示矩阵的广义逆。这里说的广义逆指的是满足：设是矩阵，若存在矩阵，使得： 则称是的广义逆。 即： 。(当是非奇异矩阵时, 的广义逆就是通常的逆矩阵)最后，对于数量幂等矩阵的一些结论已经在文献1中已经给出一小部分。都是复数域上的两个阶的数量幂等矩阵，满足：则有下面秩的等式的结论。主要结果（见文献1 ）： （0.1.1） （
4、0.1.2） （0.1.3） （0.1.4） （0.1.5） （0.1.6）1 预备知识 下面给出在本文中要用到的一些预备知识。引理11设A、B、C是复数域上的任意阶矩阵，则有下列秩的等式成立： （1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） 其中为矩阵的广义逆。引理2 2设是复数域上阶的幂等矩阵（），并且设、是非零的系数满足：，则有： （1.2.1） 关于对数量幂等矩阵（使得满足：）它们之间和、差以及换位置的秩的一些等式已经给出，在文献1中这些等式主要是利用已有幂等矩阵秩等式的结果来推得，因为如果则可以易得：,这就是说如果当时，则就是可知就是一个幂等矩阵。 引理3 设矩阵是复数域上的任意矩阵
5、，对于分块矩阵的秩有下列等式成立： (1.3.1)在本篇一开始研究对任意的关系的时候，讨论以及秩的等式，接着看对于的关系分为二种情况，对每一种的情形进行简化结果。因此讨论秩的情况，按的关系分为三个步骤来加以论述，首先是讨论的是当时，讨论和有秩的等式；当的时候，又分为两种情况：（当然也可以是）（类似的）加以讨论。2 主要的结果 现在对上面提到的二种情况进行分类讨论，并给出一些结果。2.1 对任意的非零数、讨论数量幂等矩阵的秩定理1 设是复数域上的阶数量幂等矩阵，满足：， ，则的秩满足下面等式： （2.1.1）证明 先构造一个矩阵,因为初等变换不会改变矩阵的秩，下面对该矩阵进行两种不同的初等变换，
6、（因为：）所以可以得到 （2.1.2）另一方面用不同的初等变换，故可以得到 （2.1.3）故由（2.1.2）和（2.1.3）得到由上面的结论可得知所以又因为所以可已得到 证毕。 对于的等式，我们可以根据定理1用同样的思路可以讨论，于是可以得到下面的结论。定理2 设是复数域上的阶数量幂等矩阵，满足： ，则的秩满足下面等式： （2.1.4）证明 先构造一矩阵可以得到所以可以得到 （2.1.5）另一方面所以可以得到 （2.1.6）由上面得（2.1.5）和（2.1.6）得到 （2.1.7）所以 又因为有上面可以得到故有上面可以得到 又因为所以可以得到 证毕。由上面的广义逆的定义可以得到如果对于满足：
7、的矩阵。则它们的广义逆的定义可得：。根据引理1可以得到 （2.1.8） （2.1.9） （2.1.10） （2.1.11）将上面的（2.1.10）、（2.1.11）带入上面的（0.1.2）可以得到下面的结论。 （2.1.12）将（2.1.8）、（2.1.9）代入（0.1.1）可得到 （2.1.13）在上面的讨论我们主要是针对矩阵之间和、差和一些特殊矩阵秩的讨论，接下主要是要讨论一下换位置下的秩的等式。定理3 设是复数域上的阶的数量幂等矩阵，即满足：，则有秩的等式： （2.1.14） （2.1.15） 证明 等式（2.1.14）文献1已经给出又因为 将上面的等式带入得到 推论 假设是复数域上的阶
8、的数量幂等矩阵，即满足，则下面几个命题是等价的：（1）（2）（3）（4）和证明 （1）（2）因为，所以根据（2.1.14）得到（2）成立。（2）（1）因为则（1）（3）因为，所以由（0.1.3）得到即又由代入得到（3）（1）若由（0.1.3）可以得到代入（2.1.14）得到，即是。（4）（1）若（4）成立，代入（2.1.6）可以得到,所以。（1）（4）若（1）成立，由（2.1.16）知所以可以得到。因此和成立。综上所述各命题是等价的。 定理4 假设矩阵是复数域上的阶的数量幂等矩阵，满足：，则有秩的等式： （2.1.20） （2.1.21）证明 由引理（0.1.5）可以得到成立。将以及代入（2.
9、1.20）可以得到推论1 假设矩阵是复数域上的阶的数量幂等矩阵，即满足，则下面几个命题是等价的：（1）（2）（3) （4）证明（1） （2）由（2.1.20）便可以得到。（2） (3)因为假如(2）是成立的，也就是是成立的，而且可以易知和是幂等矩阵，故可由引理3便可以得，所以。(3) (4)如果 成立，则由引理（0.1.3）便可知所以根据（2.1.20）得证。下面证明(4) (1)同样根据（2.5.1）和（2.6.1）就可以得到证明。推论2 假设是复数域上的阶的数量幂等矩阵，即满足，则下面几个命题是等价的：（1）是非奇异的矩阵。（2）和都是非奇异的矩阵。证明（1） （2）由（2.1.20）可以
10、得到矩阵、都是阶的矩阵，它们的线性组合的秩不会超过，所以：和的秩都是，故是非奇异的矩阵。(2) (1)由（2.1.20）可以得到：故（1）式成立，即是可逆矩阵。2.2 当时，讨论数量幂等矩阵的秩 上面给出的是对于一般的情况时，数量幂等矩阵的秩等式的讨论，现在如果加强条件，对于上面的秩的等式可以作如何化简和有哪些新的结论。定理5设是复数域上的阶的数量幂等矩阵，满足：，如果当时，则有： （2.2.1）证明 因为，所以故可以得到根据行列式的性质其中是的特征值，故当时，有即，所以是一个可逆矩阵，所以可以得到亦是可逆矩阵。所以可得当时，所以。又因为根据行列式的性质其中是的特征值，故当时，有即，所以是一个
11、可逆矩阵，所以可以得到亦是可逆矩阵。所以可得当时，所以。根据上面的证明可以得知根据上面的结果可得 证毕。定理6 设是复数域上的阶的数量幂等矩阵，即满足： ，并且，则有下面的秩的等式成立： （2.2.2） （2.2.3）证明 因为，所以故和都是幂等矩阵，由引理2可以得到对任意的数、是非零的系数满足：，则有：，又因为，即现在分别取，。化简可以得到又因为并且当则有即又因为故 证毕。推论 设是复数域上的阶数量幂等矩阵，即满足：，并且，则有： （2.2.4）2.3 当时，讨论数量幂等矩阵的秩在文章的末尾来讨论一下的情况，对这一种的情形下不妨假设用以及来研究和、差、换位置秩的等式。可以根据（0.1.1）可
12、以知道:对于在下讨论他们之间秩的等式，可以借助这个式子，只要令就可以得到它们之间差的等式。定理7 假设是复数域上的阶的数量幂等矩阵，即满足：，如果当时，则有： （2.3.1） （2.3.2） （2.3.3） （2.3.4）证明 这种情况是上面的特殊情形，故只要将（2.1.10）、（2.1.11）和（0.1.1）-（0.1.6）代入（2.3.1）以及便可得到。推论 （1）若或是时，则：（2）若时，则： 若时，则：（3）若证明 （1）若，由（2.3.2）可以得到，同理若，则有（2.3.3）的到（2）如果，根据等式（2.3.2）以及（2.3.3）得到：如果，根据等式（2.3.2）以及（2.3.3）得
13、到： （3）“”若， 故代入（2.3.1）可以得到 “”若。由（2.3.1）可以得到，即 。现在讨论一下最后一种情况：，在这种情况的讨论和上面的讨论是相类似的，于是对于它们之间的和、差秩的等式在这里就是说明一下。先看一下差的秩的等式：这就是告诉我们可以将一个满足：的矩阵差的秩转换为，而后一个秩是已知的，这就是说和的秩也是可以转换为，而这是已经在2.3中讨论过的秩的等式。通过上面的种种情况的讨论，我们就将其分为二个情况比较系统的讨论了在复数域上对于满足的矩阵它们之间的和、差以及换位置秩的等式研究。结束语文献1、2、3可以说是对于而言是特例，在文献1、2中讨论的是的时候，在文献3讨论的是的情况，本
14、文的讨论是基于上面几篇文献的基础之上，或者说是上面文献的特殊情形的推广。在本文的定理证明以及所要讨论一些秩等式的结果和证明在一定程度上是上面文献启示得到，因此不管是在结论还是证明都是有一定的继承，但是又有差别。本文和田永革的最大的差别就是在田永革的文献中所建立秩的等式都是和参数是有关系的，在本文中提到的一些关于秩的等式是和参数无关，而且在讨论满足：的矩阵之间和、差以及换位子秩等式是分为和两种情况加以讨论，这样分类讨论特别是对于结论的化简是有很大的帮助。在文章中还有提到一些较为特殊的矩阵秩的等式。致谢本论文是在指导老师晏瑜敏老师的悉心指导下完成的。本论文从选题到完成，在这整个过程都得到杨忠鹏教授
15、的巨大帮助。老师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，严以律己、宽以待人的崇高风范，对我影响深远，使我掌握了基本的研究方法。在此，谨向晏瑜敏老师和杨忠鹏教授以及各位老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢同组同学的支持与帮助；同时还要感谢其他学科老师的教育和帮助，在此表示深深的感谢。参考文献1Yongge Tian.Rank equalities for idempotent and involutory matricesJ.Linear Algebra and ApplicationsJ.335 2001:101-117.2Yongge Tian.Rank equalities for idempotent and involutory matrices with applicatinnsJ.Journal of Computational and Applied MathematicsJ.191 2006:77-97.3陈孝娟,张锦,郭文彬.关于斜幂等矩阵的一些秩的等式J.聊城大学学报（自然科学版），2007，（20）：12-32.
