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1、2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1图中阴影部分表示的集合是（）AAUBBUABCU（AB）DU（AB）2与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=（）2Df（x）=3一个偶函数定义在7，7上，它在0，7上的图象如图，下列说法正确的是（）A这个函数仅有一个单调增区间B这个函数有两个单调减区间C这个函数在其定义域内有最大值是7D这个函数在其定义域内有最小值是74下列函数中，既是奇函数，又在（，0）上单调递增的是（）Ay=
2、x1By=x2Cy=x3D5函数的定义域为（）A1，3）B（1，3）C（1，3D1，36已知集合A=xR|ax22x+7=0，且A中只有一个元素，则a的值为（）A0或B0或CD7函数y=的值域是（）A（0，1）B（0，1C（）D8已知，则（）A1nmB1mnCnm1Dmn19函数f（x）=x22x+8在a，a+1具有单调性，则实数a的取值范围是（）A0a1B1a0Ca0或a1Da1或a010若f（x）=ax3+x+c在a，b上是奇函数，则a+b+c+2的值为（）A1B0C1D211已知f（x）=ax，g（x）=loga|x|（a0，且a1），若f（2014）g（2014）0，则y=f（x）与y
3、=g（x）在同一坐标系内的大致图形是（）ABCD12定义域为R的函数f（x）满足条件：；f（x）+f（x）=0（xR）； f（3）=0则不等式xf（x）0的解集是（）Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3Cx|x3或x3Dx|3x0或0x3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=ax12恒过定点14函数y=lg（x2+2x）的单调递增区间是15已知f（x）=3x，若实数x1，x2，x2015满足x1+x2+x2015=3，则f（x1）f（x2）f（x2015）的值=16已知函数，若abc，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是三、解答题（本大题共6小题
4、，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知集合A=x|x25x60，B=x|x3a0，（）当时，求AB；（）若AB=B，求实数a的取值范围18（）（）19已知函数f（x）=x|x1|（）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；（）讨论函数y=f（x）与y=a公共点的个数20已知函数f（x）=x2+2ax+1a在区间0，1上的最大值是2，求实数a的值21已知函数y=f（x）（x0）对于任意的x，yR且x，y0满足f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：y=f（x）为偶函数；（3）若y=f（x）在（0，+）上是增函数，
5、解不等式22已知f（x）=ln（ex+1）ax是偶函数，g（x）=ex+bex是奇函数（）求a，b的值；（）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（）若不等式g（f（x）g（mx）在1，+）上恒成立，求实数m的取值范围2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1图中阴影部分表示的集合是（）AAUBBUABCU（AB）DU（AB）【考点】Venn图表达集合的关系及运算【专题】作图题【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，由韦恩图与
6、集合之间的关系易得答案【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，即阴影部分的元素属于A且不属于B，即A（CuB）故答案为 A【点评】阴影部分在表示A的图内，表示xA；阴影部分不在表示A的图内，表示xCUA2与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=（）2Df（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数【解答】解：对于A，函数f（x）=|x|（x0），与函数f（x）=|x|（xR）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x
7、）=|x|（xR），与函数f（x）=|x|（xR）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）=x（x0），与函数f（x）=|x|（xR）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）=x（xR），与函数f（x）=|x|（xR）的对应关系不同，所以不是同一函数故选：B【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目3一个偶函数定义在7，7上，它在0，7上的图象如图，下列说法正确的是（）A这个函数仅有一个单调增区间B这个函数有两个单调减区间C这个函数在其定义域内有最大值是7D这个函数在其定义域内有最小值是7【考点】奇偶性与单调性的综合
8、【专题】数形结合【分析】根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出在7，7上的图象，如图所示，根据函数的图象，确定函数的单调性和最值情况，就可以确定选项【解答】解：根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出在7，7上的图象，如图所示，可知：这个函数有三个单调增区间；这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7；这个函数在其定义域内最小值不是7故选C【点评】本题主要考查了学生读图能力以及偶函数定义，本题关键是根据偶函数图象的对称性确定在7，7上的图象，属于基础题4下列函数中，既是奇函数，又在（，0）上单调递增的是（）Ay=x1By=x2Cy=x3D【考点】函数单调性的判断与证明；函
9、数奇偶性的判断【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可【解答】解：对于A，y=x1是奇函数，在（，0）上单调递减的，所以不符合题意；对于B，y=x2是偶函数，所以不符合题意；对于C，y=x3是奇函数，在（，0）上单调递增的，所以满足题意；对于D，y=是非奇非偶的函数，所以不符合题意故选：C【点评】本题考查了判断基本初等函数的单调性与奇偶性的应用问题，是基础题目5函数的定义域为（）A1，3）B（1，3）C（1，3D1，3【考点】对数函数的定义域【专题】计算题【分析】由即可求得函数的定义域【解答】解：由题意得：，解得1x3故选C
10、【点评】本题考查对数函数的定义域，关键是理解使函数成立的条件需要同时成立，属于基础题6已知集合A=xR|ax22x+7=0，且A中只有一个元素，则a的值为（）A0或B0或CD【考点】集合的表示法【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】由条件便知方程ax22x+7=0只有一解，讨论a=0求出x，从而得出此时的集合A；而a0时，由判别式=0能够求出a，从而得出方程的解，这样又可求出此时的集合A【解答】解：根据题意，方程ax22x+7=0只有一个解；（1）若a=0，2x+7=0，x=，符合题意；（2）若a0，则=428a=0，a=；故选：B【点评】考查描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，一
11、元二次方程有一解时判别式的取值情况，不要漏了a=0的情况7函数y=的值域是（）A（0，1）B（0，1C（）D【考点】函数的值域【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】化简y=1，从而求y的取值范围【解答】解：y=1，2x0，1+2x1，01，011，故选：A【点评】本题考查了求值域的常见方法属于基础题8已知，则（）A1nmB1mnCnm1Dmn1【考点】对数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】利用对数函数的性质，图象的特征，求出m，n的关系即可【解答】解：因为y=是减函数，x1时，函数值小于0，所以，可知1nm；故选A【点评】本题是基础题，考查对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的基本
12、性质是解题的关键9函数f（x）=x22x+8在a，a+1具有单调性，则实数a的取值范围是（）A0a1B1a0Ca0或a1Da1或a0【考点】二次函数的性质【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】若函数f（x）=x22x+8在a，a+1具有单调性，则a1，或a+11，解得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x22x+8的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x22x+8在a，a+1具有单调性，则a1，或a+11，解得：a0或a1，故选：C【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键10若f（x）=ax3+
13、x+c在a，b上是奇函数，则a+b+c+2的值为（）A1B0C1D2【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于a，b，c的方程，即可的结果【解答】解：奇函数的定义域关于原点对称，所以a+b=0奇函数的图象关于原点对称，f（x）=f（x）即ax2x+c=ax2xc2ax2+2c=0对于任意的x都成立a=c=0，则b=0a+b+c+2=2故选：D【点评】本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题11已知f（x）=ax，g（x）=loga|x|（a0，且a1），若f（2014
14、）g（2014）0，则y=f（x）与y=g（x）在同一坐标系内的大致图形是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由f（2014）g（2014）0可得g（2014）0，即loga20140，得出0a1根据函数单调性可得出答案【解答】解：f（2014）g（2014）0，f（2014）=a20140，g（2014）=g（2014）0，即loga20140，0a1f（x）是减函数，g（x）在（0，+）上是减函数，故选：A【点评】本题考查了指数函数，对数函数的性质，找到a的范围是关键12定义域为R的函数f（x）满足条件：；f（x）+f（x）=0（xR）； f
15、（3）=0则不等式xf（x）0的解集是（）Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3Cx|x3或x3Dx|3x0或0x3【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由条件可得函数f（x）为（0，+）上的增函数，由可得函数为奇函数，再由可得函数的图象过点（3，0）、（3，0），数形结合可得不等式的解集【解答】解：由条件可得函数f（x）为（0，+）上的增函数，由可得函数为奇函数，再由可得函数的图象过点（3，0）、（3，0），故由不等式xf（x）0可得，当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0结合函数f（x）的简图可得不等式的解集为 x|0x3，或3x0，故选D【点评】本题主要考查函数的奇
16、偶性和单调性的应用，其它不等式的解法，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=ax12恒过定点（1，1）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质进行求解【解答】解：令x1=0得x=1，此时f（1）=12=1故函数f（x）=ax12恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键14函数y=lg（x2+2x）的单调递增区间是（0，1）【考点】复合函数的单调性【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，即可得到
17、结论【解答】解：由x2+2x0，可得函数的定义域为（0，2）x2+2x=（x1）2+1，函数t=x2+2x在（0，1）上单调递增y=lgt在定义域上为增函数函数y=lg（x2+2x）的单调递增区间是（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查复合函数的单调性，确定函数的定义域，内外函数的单调性是关键15已知f（x）=3x，若实数x1，x2，x2015满足x1+x2+x2015=3，则f（x1）f（x2）f（x2015）的值=27【考点】指数函数的图像与性质【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据指数幂的运算性质即可求出【解答】解：f（x）=3x，实数x1，x2，x201
18、5满足x1+x2+x2015=3，则f（x1）f（x2）f（x2015）=33=27，故答案为：27【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题16已知函数，若abc，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（10，12）【考点】分段函数的应用【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范围即可，【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则lga=lgb=c+6（0，1）ab=1，0c+61则abc=c（10，12）故答案为：（10，12）【点评】本题主要考查分段函数、对数的
19、运算性质以及利用数形结合解决问题的能力三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17已知集合A=x|x25x60，B=x|x3a0，（）当时，求AB；（）若AB=B，求实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【专题】计算题；转化思想；集合【分析】（）当时，求出集合A，B，结合集合交集的定义，可得答案；（）若AB=B，则AB，则3a6，解得答案【解答】解：（）当时，A=x|1x6，B=x|x1AB=x|1x1（）AB=B，则AB则3a6，a2【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题18（）（）【考点
20、】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）利用有理数数幂性质、运算法则求解（）利用对数性质、运算法则求解【解答】（本小题满分12分）解：（） =0.411+0.1=（）=lg4+lg125+lg=lg（）=lg100=2【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质、运算法则的合理运用19已知函数f（x）=x|x1|（）在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；（）讨论函数y=f（x）与y=a公共点的个数【考点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；数形结合法
21、；函数的性质及应用【分析】（1）当x1时，f（x）=x2x，当x1时，f（x）=xx2，分段作出函数图象，根据图象写出单调区间；（2）结合图象得出a的取值范围与交点个数的关系【解答】解：（）作出函数图象如图：函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（）当时，函数y=f（x）与x轴有一个公共点；当时，函数y=f（x）与x轴有两个公共点；当时，函数y=f（x）与x轴有三个公共点【点评】本题考查了分段函数的图象，单调区间和交点个数问题，数形结合是重要解题方法20已知函数f（x）=x2+2ax+1a在区间0，1上的最大值是2，求实数a的值【考点】二次函数在闭区间上的最值【专题】函数思想；综合法；函数的性
22、质及应用【分析】先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最大值的表达式，解出即可【解答】解：函数f（x）=x2+2ax+1a，对称轴是x=a，当a0即a0时：f（x）在0，1递增，f（x）max=f（1）=a+2=2，解得：a=0；当0a即a0时：f（x）在0，a）递减，在（a，1，f（x）max=f（1）=a+2=2，解得：a=0；当a1即1a时：f（x）在0，a）递减，在（a，1，f（x）max=f（0）=1a=2，解得：a=1；当a1即a1时：f（x）在0，1递减，f（x）max=f（0）=1a=2，解得：a=1【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思
23、想，是一道基础题21已知函数y=f（x）（x0）对于任意的x，yR且x，y0满足f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：y=f（x）为偶函数；（3）若y=f（x）在（0，+）上是增函数，解不等式【考点】抽象函数及其应用；命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】（1）赋值法：在所给等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=1可求得f（1）；（2）在所给等式中令y=1，可得f（x）与f（x）的关系，利用奇偶性的定义即可判断；（3）由题意不等式可化为f（|）f（1），根据单调性即可去掉符号“f”，转化为具体不等式即可解得
24、【解答】（1）解：对于任意的x，yR且x，y0满足f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0；（2）证明：由题意可知，令y=1，得f（x）=f（x）+f（1），f（1）=0，f（x）=f（x），y=f（x）为偶函数；（3）解：由（2）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数不等式可化为，f（|）f（1），即：6x（x5）6且x0，x50，在坐标系内，如图函数y=x（x5）图象与y=6，y=6两直线由图可得x1，0）（0，23，5）（5，6，故不等式的解集为：1，0）（0，23，5
25、）（5，6【点评】本题考查抽象函数的求值、奇偶性的判断及抽象不等式的解法，定义是解决抽象函数问题的常用方法，解抽象不等式关键是利用函数性质转化为具体不等式22已知f（x）=ln（ex+1）ax是偶函数，g（x）=ex+bex是奇函数（）求a，b的值；（）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（）若不等式g（f（x）g（mx）在1，+）上恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【分析】（）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（）根据函数的单调性将不等式g（f（x）g（mx）在1，+）上恒成立，进行转化，即可求实数m
26、的取值范围【解答】解：（）f（x）=ln（ex+1）ax是偶函数，f（x）=f（x），即f（x）f（x）=0，则ln（ex+1）+axln（ex+1）+ax=0，ln（ex+1）x+2axln（ex+1）=0，则（2a1）x=0，即2a1=0，解得a=若g（x）=ex+bex是奇函数则g（0）=0，即1+b=0，解得b=1；（）b=1，g（x）=exex，则g（x）单调递增；（）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x）g（mx）在1，+）上恒成立，等价为f（x）mx在1，+）上恒成立，即ln（ex+1）xmx在1，+）上恒成立，则mln（ex+1）+x，设m（x）=ln（ex+1）+x，则m（x）在1，+）上单调递增，m（x）m（1）=ln（1+e）+，则mln（1+e）+，则实数m的取值范围是（，ln（1+e）+）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决恒成立问题的基本方法
