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1、斐波那契数列摘 要通过对斐波那契数列的定义、性质，以及它的属性的研究，介绍斐波那契数列在各个领域，包括数学界，自然界以及社会生活的应用，从而了解和研究斐波那契数列。关键词斐波那契数列；定义和性质；应用Geometry - the arithmetic mean inequality and its application in algebraAbstractGeometry - the arithmetic average of inequality is very important inequality，The most widely used in modern analytical m
2、athematics，Many of the conclusions proved to be using this inequality on the basis of，Clever use of this inequality can make many of the problems is a beautiful solution，Brought a lot of convenience for our research work. The proof of this inequality and we are interested in.With the inequality cont
3、inues to be proven and be used to prove the other conclusions，Lead to the use of inequality greatly advance. Geometry - the arithmetic average of the inequality in the extreme value, the conditional extremum seeking some iterative series limit, series convergence and inequality derivation of a large
4、 number of widely used，Apply this inequality can be many unexpected results，It also results of the use and development of a variety of transformation. On the geometry - the arithmetic mean inequality research and extension, our problem-solving ideas will be to develop mathematical thinking will be a
5、 corresponding increase in, which is of practical significance to explore some of the substantive issues. Key wordsGeometry - the arithmetic average of inequality ; Elementary Proof ;The use of inequality1 引言1.1 研究背景和意义公元1202年，意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）撰写了一本珠算原理，他被人
6、称作“比萨的列昂纳多”，他是第一个研究印度和阿拉伯数学的欧洲人，书中提到了一种数列：1、1、2、3、5、8、13、21 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。这个数列引起了很多数学家的关注，后来人们称其为斐波那契数列。书中的兔子问题，也被誉为经典的数列模型。继兔子问题以后，斐波那契数列得到了蓬勃的发展。至今为止，斐波那契数列不光在数学领域，在物理，化学甚至金融领域等各个领域都有了广泛的应用。1.2 研究现状目前关于斐波那契数列的相关研究比较多，主要研究斐波那契数列的性质以及在各领域的应用，美国数学会1960年出版了斐波那契数列季刊，专门研究斐波那契数列。1.3 本文的主要工作及内容本文
7、通过查阅相关资料了解了斐波那契数列的定义以及性质，介绍斐波那契数列在各个领域的应用，从而解读斐波那契数列。2 斐波那契数列的定义和性质2.1斐波那契数列的定义定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。表达式F0=1,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2通项公式 （又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）比较有趣的是：一个完全是自然数的数列，通项公式竟然是用无理数表示的。2.2 斐波那契数列通项公式的证明下面是其通项公式的几种证明方法： 方法一（利用特征方程）线性递推数列的特征方程为：解得： ， 则 解得： ；方法二（
8、递推法）：设“”由有，因此当时有： 将以上个式子相乘得：上式可化简得：同时等式两边除以得：，令有：则有：；因此所以：，所以有数列为首项为，公比为的等比数列。因此：又与联立消去得：由 ，得：，又得：由，得： ，综上所述：方法三（黄金分割法）：因为,是方程的两根（其中黄金分割比）。得到,再左右同时乘以即得到： 由,容易得到:现在我们令得： 其实斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只是介绍了其中的三种，下面我们来研究斐波那契数列有那些性质。2.3斐波那契数列的性质及其证明性质一、若数列为斐波那契数列，则；其中为黄金分割比。证明：我们记： ，则有因此，我们分别讨论为奇数、偶数的两种情形，因为有符号
9、之别；）当为奇数时有：所以，取，则时有：即。这正好说明为奇数时成立，下面我们证明为偶数时。）当为偶数时有：所以，取，则时有：即。综上所述有结论成立。 这个结论的成立，让我们看见斐波那契数列与这个最完美和谐的黄金数有了联系。3斐波那契数列的应用3.1斐波那契数列在自然界的体现斐波那契数列又称为“兔子数列”，是因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的。兔子在出生两月以后，就会有繁殖能力，正常情况下一对兔子每个月就会生一对兔子，假设没有兔子死亡，那么一年以后可以繁殖多少兔子出来？我们来分析一下第一个月没有繁殖，就是一对兔子第二个月则生下一对，总共就是两对三个月后，老兔子又生一对，小兔子没有繁殖，就是三队
10、四月后，老兔子生一对，小兔子生一对，那一共就是五对以此类推得出一组数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、114此数列很明显，那就是前面相邻两项和，构成了第三项。斐波那契数列在自然界有很多体现，比如树木的生长。一个树木在一年后长出一个新枝，休息一年后再长出一个新枝，以后每个树枝都遵循这样的规律，于是第一年只有一个主干，第二年有两个枝，第三年三个，第四年五个，以此类推，便构成了斐波那契数列。其次，有很多花瓣也都遵循斐波那契数列,比如：雏菊，延龄草，野玫瑰，大波斯菊，金凤花，百合花，蝴蝶花，紫苑，南美血根草等等。为什么这些花朵的花瓣数会与斐波那契数列如此巧合呢？或许这既是自然界
11、长期进化的结果。这似乎是植物排列种子的“优化”方式，它可以令种子疏密得当，不至于圆心处挤太多种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长也同样如此，每片叶子从轴附近生长，每片叶子和前一片的角度应该是222.5度，它便是黄金分割比的倒数。3 .3斐波那契数列在数学方面的应用 1 排列组合 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？ 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法 1,2,3,5,8,13,21所以，登上10级台阶总共有89种登法。 类似的，一枚均匀的硬币投掷10
12、次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？ 答案是（1/）2 斐波那契数列与杨辉三角若数列为斐波那契数列，记则有：1123581311 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 证明：如图1，是杨辉三角与斐波那契数列的关系；首先讨论是列的前8项，则有：图1由上面的等式可猜想：下面我们用数学归纳法证明猜想成立。当是结论显然成立。当时结论成立。首先我们讨论为偶数的时候，由递推关系有：这正好表明，当为偶数时结论成立。同理可以证明当为奇数时结论成立。 3数字游戏 一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯
13、分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！ 这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？ 实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。 斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新
14、枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。 3.3 斐波那契数列在社会生活中的应用1影视中的斐波那契数列 斐波那契数列在欧美是人尽皆知的，在电影中就会经常出现有关斐波那契数列的，例如风靡一时的达芬奇密码里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在魔法玩具城里又是在店主招聘会计经常问的问题。可见斐波那契数列就像黄金分割一般流行。可虽说叫得上名，但大多数人只背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也曾出现过斐波那契数列。例如：日剧考试之神第五回，义嗣在做全国模拟考中的最后一道数学题；在FOX热播美剧Fringe中更是无数次引用，甚至作为全剧海报的设计元素之一。2斐波那契数列在股市的应用 斐波那契数列数列又称“黄金分割数列”，因此人们用斐波那契数列的规律和黄金分割的联系来分析股市，股市里的埃利奥特波浪和斐波那契数列就有分不开的联系。同时，斐波那契回调线（黄金分割线）在外汇中的趋势投资中的应用很广泛。其次，斐波那契数列还在数据变换方面有这广泛的应用。很多财政方面的专家常根据对斐波那契数列的运算得出的交易通道作为交易的止盈/止损使用，或者用于对整区间的判定。即
