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1、1,斐波那契数列,2,我们先来做一个游戏！,3,十秒钟加数,请用十秒，计算出左边一列数的和。,时间到！,答案是 231。,4,十秒钟加数,再来一次！,时间到！,答案是 6710。,5,这与“斐波那契数列”有关,若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：,1,1,2,3,5,8,13,6,一、兔子问题和斐波那契数列,1 兔子问题 1）问题 取自意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）(L.Fibonacci,1170-1250）,7,2 斐波那契生平 斐波那契（Fibonacci.L,11751250）出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴
2、趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。,8,斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。,9,六、斐波那契协会和斐波那契季刊,1 斐波那契协会和斐波那契季刊 斐波那契1202年在算盘书中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也
3、没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。,10,有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了斐波那契季刊。,11,兔子问题,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,12,解答,1 月1 对,13,解答,1 月1 对,2 月1 对,14,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,15,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,16
4、,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,17,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,18,解答,1 月1 对,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,7 月13 对,19,解答,可以将结果以列表形式给出：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,因此，斐波那契问题的答案是 144对。以上数列，即“斐波那契数列”,20,兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 2
5、1 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。,规律,21,2 斐波那契数列 1）公式 用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式,22,2）斐波那契数列 令n=1,2,3,依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。,23,二、相关的问题,斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在
6、许多问题中出现。,24,1 跳格游戏,25,如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？解：设跳到第n格的方法有 种。由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而,26,而能一次跳入第n格的，只有第 和第 两格，因此，跳入第 格的方法 数，是跳入第 格的方法数，加上跳入 第 格的方法数 之和。即。综合得递推公式 容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,27,蜜蜂进蜂房问题：,一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、n号蜂房，只允许它自左
7、向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线多少？,28,3 自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。,29,1）花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。,30,花瓣中的斐波那契数花瓣的数目,海棠（2）,铁兰（3）,31,洋紫荊（5）,蝴蝶兰（5）,黃蝉（5）,花瓣中的斐波那契数花瓣的数目,32,花瓣中的斐波那
8、契数花瓣的数目,雏菊（13）,雏菊（13）,33,2）树杈的数目,13853211,34,3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数,35,36,向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。,37,松果种子的排列,38,松果种子的排列,39,松果种子的排列,40,菜花表面排列的螺线数（5-8）,41,这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长
9、的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。,42,5 推广的斐波那契数列 卢卡斯数列 1）卢卡斯数列 卢卡斯（Lucas，F.E.A.1824-1891）构造了一类更值得研究的数列，现被称为“推广的斐波那契数列”，,43,即从任何两个正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取。,44,斐波那契数列1，1，2，3，5，8，是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为1、1。次简单的为1，3，4，7，11，18，现称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列的通项公式是,45,
10、推广的斐波那契数列与斐波那契数列一样，与黄金分割有密切的联系：该数列相邻两数之比，交替地大于或小于黄金比；并且，两数之比的差随项数的增加而越来越小，趋近于0，从而这个比存在极限；而且这个比的极限也是黄金比。,46,类似于前面提到的数列,其极限也是,47,2）用斐波那契数列及其推广变魔术,让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。,1 1 2 3 5 8132134,5589144233377610987,48,“十秒钟加数”的秘密,数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！,所以右式的答案是：,21 11=231,49,“十秒钟加数”的秘密,又例如：,右式的答案是：,610 11=6710,50,让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速说出“这条线之前所有各数”的和。其实有公式：前 项和=表示卢卡斯数列的第 项。(请大家课下自己制作),51,2）斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列 的极限为黄金比的倒数 称为第二黄金比。即有,
