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1、解,高等数学练习题,利用“先二后一”计算.,2.计算椭球体,的体积 V.,解法1,解法2,利用三重积分换元法.令,则,3.求三重积分,解,4.计算,其中L为圆周,解 参数方程计算,则,第二型曲线积分的计算,1.直接计算法,2.利用格林公式化为二重积分计算,格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+则,3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径,D：单连域，P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且,5.计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关,故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线
2、段,计算,其中L为上半圆周,沿逆时针方向.,6.,第二型曲面积分的计算,曲面,上侧,下侧,（上侧正下侧负）,曲面,前侧,后侧,(前侧正后侧负),右侧,左侧,曲面,光滑曲面,（上侧正下侧负）,(前侧正后侧负),光滑曲面,前侧后侧,（单值）,（单值）,小结:,光滑曲面,右侧左侧,(右侧正左侧负),解,这里P=0，Q=yz，R=zx,于是,注意：,解,x,y,z,代入初始条件f(1)=1,得,11.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,14.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,该曲线的方程.,解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,由 得
3、,由 得 C=2,因此所求曲线方程为,线性常系数非齐次微分方程,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,待定系数法,结论：,在（1）中，若,则（1）具有形如,的特解，其中 与 同次，k按不是特征根、是特征单根、是特征重根依次取 0、1或2.,特别是,特解,解,再求导，得,初始条件为,特征方程与特征根为:,对积分方程两边求导，得,14:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,级数的收敛、求和与展开,基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,15.,判别下列级数的敛散性:,解,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,再由比较
4、法可知原级数收敛.,收敛,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,时发散.,16下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,原级数发散.,故原级数绝对收敛.,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,因,所以原级数绝对收敛.,求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,17.求下列级数的敛散区间:,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,18.
5、求幂级数,解,先求出收敛区间,则,设和函数为,解 级数缺少偶次幂的项，,级数收敛.,级数发散.,收敛半径,因而级数发散.,于是级数的收敛域为,则,将上式两边求导得,故,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,20.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,解,不必应用泰勒公式求，而是应用sinx,cosx的马氏展式求,解:,周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,(1)对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,(2)周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里
6、叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,22 设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f(x)的情况见右图.,n5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义积分的判别法,1.几个特殊的积分,2.广义积分的比较判别法,(4)比较判别法的极限形式,瑕积分与无穷积分有类似的比较判别法.,狄利克雷判别法；阿贝尔判别法.,18.计算反常积分,解:,23.判别无穷积分,解:,的敛散性.,由比较判别法 可知原积分收敛.,24 讨论反常积分,的敛散性.,提示:当 x1 时,利用,可知原积分发散.,25.判别瑕积分,的敛散性.,解:,由比较判别法 可知原积分收敛.,26 判别无穷积分,解:,根据极限判别法,该积分收敛.,27.判别无穷积分,的敛散性.,解:,根据极限判别法,该积分发散.,28.判别瑕积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限判别法,所给积分发散.,(极限审敛法）,则有:,1)当,2)当,解,解,洛必达法则,根据极限判别法,积分 收敛.,解,因为,32.证明积分,解,被积函数虽然在 处无定义，但对任意,因而函数在任意,即,由阿贝尔判别法,故,一致收敛积分具有如下性质：,
