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1、有理数的相关知识,7年级数学,2.1 正数和负数一、本节知识要点：1、引入负数是实际需要，我们用正负数来表示具有相反意义的量。2、比0大的数叫正数，在正数前面加上“”号的数叫负数。0既不是正数，也不是负数，正数、负数和零统称为有理数。,3、有理数的分类：,二、例题评析：例1 填空：（1）收入500元，记作500元，则支出300元记 作。（2）向北走40m表示。,答案：（1）300元（2）向南走40m。评析：用正负数表示相反意义的量时，要弄清符号与实际意义间的关系，符号不能弄错，还要注意带上单位。,答案：(1)5，0，101；(2)10，2，0，97；(3)，2.93，3.14；(4)10，5，
2、2，0，101，97评析：(1)题中注意自然数包括0；(2)题中要正确理解非正整数的概念，即“不是正数”的整数，也就是零和负整数；(3)题中注意搞清小数和分数的关系，即有限小数和无限循环小数可化为分数，所以在写分数时别把它们拉下；(4)题，0也是整数，写整数时别忘了它。,例3 把下列各数填在相应的大括号里，5，0.62，4，0，1.3，6.4，7，7，20，7。（1）正整数集合；（2）负整数集合；（3）分数集合；（4）整数集合；（5）负数集合；（6）正数集合；,答案：（1）4，7；（2）5，7；（3），0.62，1.3，6.4，7，20；（4）5，4，0，7，7；（5）5，1.3，6.4，7，
3、7；（6），0.62，4，20，7；评析：本题仍涉及有理数的分类，由于同学们刚刚学完正负数，对于各种数集的特征还不是很熟悉，所以容易出错，如在整数集中漏写0，写分数集时漏掉有限小数等，所以做题时应注意力集中，做完后再复查，提高正确率。,例4 字母可以表示数，回答下列问题：（1）a一定表示负数吗？（2）什么情况下，a表示正数？（3）什么情况下，a表示负数？,答案：（1）不一定；（2）a是负数；（3）a是正数。评析：有的同学以为带有负号的数就是负数，这是误解，a是正数、负数还是零，关键看a是什么数。,例5 判断题：（1）零是正数；（2）零是整数；（3）零是最小的有理数；（4）零是非负数；（5）零是
4、偶数。,解答：（1）错，零既不是正数，也不是负数；（2）对，整数包括正整数、负整数和零。（3）错，没有最小的有理数。（4）对，非负数包括负数和零。（5）对，整数分为奇数和偶数，偶数包括正偶数、负偶数和零。,例6 A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在圈内的相应位置。A2，4，8，6，7；B4，5，1，2，6；C1，4，8，2，5；,答案：如图所示。,评析：本题是关于0的性质正确认识，同学们在学习有理数的知识时，应注意随时总结0的性质。评析：本题考察数集的表示方法，渗透元素与集合，集合与集合的关系的知识。对集合A中的每个数应逐个分析，如2既不属于B，也不属于
5、C，所以应写在圆A内，但不在圆B和圆C中，4同时属于三个集合，应写在三个集合的公共区域内，8属于集合A和集合C，应写在圆A和圆C的公共区域内，但不在圆B内，其它数的写法以此类推。,例7 某中学对初一男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下：3，2，0，4，1，1，2，5（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少个引体向上？,分析：数据中的非负数是达到标准的。答案：（1）达到标准的为 10050；（2）他们共做了：783204112556个 引体向上。评析：本题是关于正负数的应用题，本题中的记数方法，当统计量和标
6、准量越大时，越能显示其优越性，同时它也是简算平均数的基础。,2.2 数轴一、本节知识要点：1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。2、数轴上的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。3、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，原点表示0，原点左侧的点表示负数，原点右侧的 点表示正数。4、数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，正数 大于0，0大于负数，正数大于负数。,二、例题评析：例1 下列各题中是数轴的是（）A.B.C.D.答案：选D。评析：本题考查数轴的画法，图A中未标明正方向，图B中没有画出原点，图C的单位长度不一致，图D满足数轴的三要素的条件。,例2 把数4，2，1.2，3.
7、5，2 在数轴上表示出来，再用“”把它们连接起来。解答：如图所示 所以 42 1.22 3.5评析：把一个数用数轴上的点表示时，通常把这个数在相应的点的上方，然后按照“左小右大”的原则依次排列。,例3 某城市公共汽车在一条笔直的8号路上来回地奔跑，起点站是A，（1）由A向东走5个站是终点站B，回头向西走了3个站，这时公共汽车A在何位置？（2）若由ABA算走一趟，每站间路是akm，每个米耗油bL，则该公共汽车一天10趟耗油多少升？,答案：本题可利用数轴求解。如图：画一数轴，使点A与原点重合，向东的方向为正方向，每站间的距离为单位长度。（1）向东走5站，再向西走3站，此时公共汽车在起点A 的东边第
8、二个站台上。（2）每趟走5akm，回头5akm，共10 akm,共耗油10abL,10趟一共耗油1010ab100ab（L）评析：一些实际问题利用数轴知识解显得更清晰，更简捷。,例4 求大于3而不超过3的所有整数。,答案：2，1，0，1，2.评析：在数轴上观察3到3的整数即可，利用数轴把代数问题直观化，它是数形结合的数学思想的基础。,例5 已知点A在数轴上，对应的有理数为a，将A点向左移3个单位长度后，右移一个单位长度得到点B的对应的数为4.5，求有理数a。,答案：解如图所示。点A向左移3个单位再右移1个单位，即把A向左移2个单位。到B点，所以点B向左移2个单位即点A，即把4.5向右数两个单位
9、，得a2.5。评析：本题需要逆向思维，关键是确定已知点B与待求点A之间的位置关系，学了运算以后本题还可以列方程求解，请同学思考。,例6 选择题：在数轴上表示整数的点称为整点，某数轴单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长100cm的线段，则线段AB盖住的整点是（）A.98或99B.99或100C.100或101D.101或102,答案选C。评析：本题可分两种情况评论。若线段端点与整点重合，则线段盖住101个整点；若线段端点与整点不重合，则线段盖住100个整点。所以线段可以盖住100或101个整点。,例7 若a为正有理数，在a与a之间（不包括a和a）有2001个整数，求a的取值范围。,答案
10、：1000a1001评析：利用数轴思考本题更直观，当a1000时，由于不包括1000和1000，所以只有1999个整数，所以a1000，同理，a1001，所以1000a1001。,2.3 相反数 2.4绝对值一、相关知识要点：1、相反数的代数意义：只有符号不同的两个数，我们称它们是互为相反数，或称其中的一个是另一个的相反数，零的相反数是零。2、相反数的几何意义：在数轴上表示互为相反数的两个点分别位于原点两旁，且与原点的距离相等。,3、相反数的表示：一个数a的相反数通常用a表示，一个数本身用a表示；一个数前面有若干个正负号时，化简的结果由负号的个数决定，当负号的个数为整数时，化简的结果是这个数的
11、相反数，当负号的个数为偶数时，化简的结果是这个数本身。4、绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，用a表示。,5、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。6、绝对值的有关性质：对任何有理数a，都有a0对任何有理数a、b，若ab0，则a0且b0。若ab（b0）则，ab。对任意有理数a，都有aa。,二、例题选讲：例1 分别写出下列各数的相反数：3，18，,分析：求一个数的相反数只要根据相反数的代数定义紧扣“只有符号不同”是解本题的关键。解：3 的相反数是3；18 的相反数是18；的相反数是,例2 化简下列各数的符号：（1
12、）(9)（2）(2),分析：第（1）题中9的前面有3个负号，所以结果是负数，第2题中2的前面有2个负号，结果是正数。解：（1）(9)9（2）(2)2,例3 下列说法正确的是（）A.符号不同的两个数互为相反数B.互为相反数的两个数必是一个正数，一个负数C.的相反数是3.14D.0.5的相反数是,分析：A错，如3和4符号不同，但它们不是相反数。B错，同为0的相反数是0。C错，因为 的相反 数是，但 3.14，0.5的相反数是 0.5，故D对，选D。,例4 已知a5，b3，且ba，求a、b的值。,分析：已知a、b的绝对值可以求出a、b的所有值，再根据ba，即可求出a、b的值。解：a5，b3，a5，b
13、3。又ba，a5，b3。,例5 已知有理数，a为正数，b、c为负数，且cba，用“”号把a、b、c、a、b、c连接起来。,分析：本题可分三步：根据已知条件把a、b、c描在数轴上;再根据相反数的几何意义把a、b、c也描在数轴上;根据这6个点的左右位置关系，用“”号把它们连接起来。解：如图所示。所以cbaabc,评析：本题在解题中用到了数轴、相反数和绝对值的几何意义等知识，一方面，同学们应对前面学习过的知识及时复习，另一方面适当做一些综合题以提高自己的解题能力，另外解比较数的大小的题目时，数轴仍是有力的工具。,例6 求下列各数的绝对值（1）（2）6（3）3.15,分析：计算绝对值，就是要紧扣绝对值
14、的定义求解。解：（1）（2）6 6（3）3.15，3.15是负数，3.15(3.15)3.15,例7 判断题1、若ab则ab（）2、m=m（）3、m1m1（）4、若aa，则a0（）5、若aa，则a0（）6、若ab，则ab（）7、若ab，则ab（）,分析：1、错，如11，但11；2、错，因为m是非负数，所以m也就是非负数，如m1时上式不成立。3、对，因为m1是非负数，所以根据绝对值的代数意义“非负数的绝对值等于本身”即可判定。4、错，00。5、错，00且0的相反数是0。6、错，如0 2，但027、错，如21但21,例8 填空：（1）若aa，则a。（2）若aa，则a。（3）若aa，则a。（4）m2
15、的整数有。（5）绝对值小于5的非正整数为。,分析：（1）题已知条件即“一个数的绝对值等于它的本身”，满足这个条件的数是正数如零，即非负数，有的同学容易漏解0.（2）题中已知条件即“一个数的绝对值等于它的相反数”，满足这个条件的数是负数如零，即非正数，这是更容易漏掉。（3）题的已知条件即“一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值”，这对任何有理数都成立。（4）题最好利用绝对值的几何意义做。（5）题做法同（4）。答案：（1）a0（2）a0（3）a为任意有理数（4）m0，1，2（5）4，3，2，1，0,例9 已知xy10，求2004x+y2004的值。,分析：本题关键是利用非负数的性质：“几个非负数的和
16、为0。则每个非负数一定为0.”求解。解：xy10，x0，y10即x0，y2。2004x+y200420040120041,例10 已知数轴上一点A到原点的距离是4，点B与A的距离是1，求所有满足条件的点到原点的距离之和。,分析：本题可由已知条件先确定点A，进而确定点B，再求出所有点B到原点的距离之和。,解：设点A表示a，点B表示b，依题意得a4，a4当a4时，b41即b1=5，b2=3，当a4时，b41b3=5，b4=3 b1 b2 b3 b4 535316满足条件的是B到原点的距离之和是16。,评价：本题主要用到绝对值的几何意义，绝对值是一个非常重要的数学概念，在实际中它也有很多应用，同学们应多做相关的练习，以加深对绝对值的认识。,结束语：今天我和同学们一起学习了正负数、数轴、相反数、绝对值的有关知识，希望能对同学们有所帮助，同学们要想有更大的进步，还需要多练、多思，最后预祝每位同学心情愉快，学习进步！,
