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1、2.3.2 抛物线的简单几何性质（1）,芳草湖总场中学 孙文静,定义：在平面内，与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。,抛物线的定义及标准方程,y2=-2px(p0),x2=2py(p0),y2=2px(p0),x2=-2py(p0),一、温故知新,由抛物线y2=2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,即点(x,-y)也在抛物线上,故 抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.,则(-y)2=2px,若点(x,y)在抛物
2、线上,即满足y2=2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.,即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.,注:这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同。,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x轴对称无对称中心,关于y轴对称无对称中心,关于y轴对称无对称中心,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0
3、）,关于x轴对称无对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考2：抛物线标准方程中的p对抛物线开口有影响吗？,p越大,开口越开阔,思考1：过抛物线的焦点做垂直于焦点所在轴的直线，交抛物线于A、B两点，那么AB=.,2p,变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,并求它的标准方程.,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.,三、例题讲解,例2、已知抛物线的顶点
4、在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线标准方程是.,变式、已知抛物线的顶点在原点，焦点是直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点，那么抛物线标准方程是.,直线3x-4y-12=0与x轴的交点是(4,0),抛物线的焦点是(4,0),又因为抛物线的顶点在原点，,抛物线的标准方程为y2=16x,解：,y2=16 x 或 x2=-12 y,四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于e=1；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3
5、、顶点：,4、离心率：,5、通径：,五、作业布置,亲们 再见！,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,（见下面）,解法二:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法 三,练习：,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.,2、已
6、知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P=。,4,练习:3.过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_4.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直线AB的方程.,y2=8x,X=3,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A(40,30),代入方程得:,302=2p40,解之:p=,故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0),例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时
7、，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例题3,这时，直线 与抛物线只有一个公共点.,解得,于是，当 且 时，方程（）有2个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.,由 即,解得,于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.,综上可得：,当 时，直线 与抛物线只有一个公共点;,当 时，直线 与抛物线有两个公共点;,当 时，直线 与抛物线没有公共点.,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,巩固与练习：,1)过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为;,3）抛物线 上的点到直线的距离的最小值是（）,16,1.(2009年山东卷（文）10）设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点，且和 轴交于点 若 的面积为4，则抛物线方程为（）,A,高考欣赏:,1.已知M为抛物线 上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则 的最小值为（）(A)3(B)4(C)5(D)6,B,.,
