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1、2.3.2 抛物线的简单几何性质,07.01.05,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?,一、复习回顾：,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1、范围,由抛物线y2=2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。,由
2、y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,5、开口方向,抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。,+X，x轴正半轴，向右,-X，x轴负半轴，向左,+y，y轴正半轴，向上,-y，y轴负半轴，向下,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个
3、焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,x0yR,x0yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、
4、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,（三）、例题讲解：,作图：,(1)列表（在第一象限内列表）,(2)描点：,(3)连线：,变式题：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（，），抛物线的标准方程。,（三）、例题讲解：,（三）、例题讲解：,练习：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,)的抛物线的标准方程为,（三）、例题讲解：,练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程
5、为,（三）、例题讲解：,变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,1/3),F两点的距离之和最小值为4,求抛物线的标准方程。,（三）、例题讲解：,例3.（课本例4P61：）斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,（三）、例题讲解：,课本例题推广：直线l 经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P.,练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是,（三）、例题讲解：,练习4：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线
6、相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.,（三）、例题讲解：,例4.课本例5P62：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.,（三）、例题讲解：,变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.,（三）、例题讲解：,练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为,（三）、例题讲解：,（三）、例题讲解：,变式题4：求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.,例5：已知过点Q(4,1)作抛物线
7、y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.,（三）、例题讲解：,练习6：求以Q(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦AB所在的直线方程.,（三）、例题讲解：,例6：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.,（三）、例题讲解：,练习7：抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是,（三）、例题讲解：,练习8：抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上最近的两点之间的距离是(),（三）、例题讲解：,例7：已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若x1x2=
8、-1/2,则m的值为(),（三）、例题讲解：,变式题5：已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OAOB(O为坐标原点),求b的值.,（三）、例题讲解：,例8(习题2.3B组2P64)：正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个三角形的边长.,分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.,（三）、例题讲解：,变式题6(复习参考题A组7P68)：正三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px(p0)焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.,分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图
9、形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.,例9、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,A,B,设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得,所求的标准方程为焦点坐标为,课堂练习：,9.求适合下列条件的抛物线的方程：,（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).,10、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.11、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。,课堂练习：,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,
