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1、抛物线的简单几何性质,一、复习回顾：,抛物线标准方程,1、抛物线的定义：,2、抛物线的标准方程：,3、椭圆和双曲线的性质：,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,二、讲授新课：,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,e=1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x
2、轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的e=1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔-本质是成比例地放大！,例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.,当焦点在x或y轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m 0)或x2=my(m0),可避免讨论！,三、例题选讲：,思考：通径
3、是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,继续,与直线的倾斜角无关!很奇怪!,解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!,返回,这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.,继续大胆猜想,太漂亮了!,坐标法是一种非常好的证明,你还有没有其他好方法呢?,本题几何法也是一个极佳的思维!,A1,二、抛物线的焦点弦：,通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值,6、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OAOB,变式1:若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p0)交于A、B两
4、点，求证：OAOB.,变式2：若直线l与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，且OAOB，则_ _.,直线l过定点(2p,0),2023年6月28日星期三,直线和抛物线的位置关系,一、复习回顾：,直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：,1、根据几何图形判断的直接判断,2、直线与圆锥曲线的公共点的个数,形,判断直线与双曲线位置关系的操作程序,把直线方程代入双曲线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与双曲线的渐进线平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,F,x,y,问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？,二、讲授新课：,几何画板演示,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线
5、方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,2答案,试试看!,例2、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.,说明：中点弦问题的解决方法：联立直线方程与曲线方程求解点差法,1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,附：补充例题：,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,F,A,B,M,解：,解法二：,F,A,B,M,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标
6、的最小值.,解：,抛物线的对称性问题例.已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A（-1，0）和B（0，8）关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。,类型四抛物线的最值与定值问题 例4如图6，已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且AOB90.(1)证明直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值,迁移体验4如图7所示，已知直线l：y2x4与抛物线y24x交于A，B两点，试在抛物线的弧AOB上找一点P，使PAB的面积S最大，并求出这个最大面积,例5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程,辨析错因只考虑到了m0的情况，而m0时也可以满足条件因此，求抛物线方程时，要考虑各种情况，以免遗漏,例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,一、抛物线的几何性质：,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,
