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1、3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程,直线的点斜式方程和斜截式方程,斜率k,截距b,纵坐标b,判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)当直线的倾斜角为0时,过(x0,y0)的直线l的方程为y=y0.()(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念.()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线.(),提示:(1)正确.当直线的倾斜角为0时,此时tan0=0,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程就是y-y0=0或y=y0.(2)错误.距离和截距是两个不同的概念,距离非负,而截距是一个数值,可正、可负、可为零.(3)正确.只能表示斜率存在的直线.答案
2、:(1)(2)(3),【知识点拨】1.剖析直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的前提条件是:已知一点P(x0,y0);斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.(2)方程y-y0=k(x-x0)与方程k=不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P(x0,y0)的一条直线.(3)当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线.,2.直线的点斜式与斜截式方程的关系(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b),它们都不能表示斜率不存在的直线.(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其他形式的基础.(3
3、)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟一,而斜截式的形式是惟一的.,3.直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系(1)斜截式方程中，k0时，y=kx+b即为一次函数，k=0时，y=b不是一次函数.(2)一次函数y=kx+b(k0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.,类型 一 直线的点斜式方程【典型例题】1.一条直线经过点P1(-2,3),斜率为2,则这条直线的方程为.2.经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为.3.求经过点(2,5),且倾斜角为45的直线方程.,【解题探究】1.写直线的点斜式方程的两个前提条件是什么?2.垂直于y轴的直线的斜率存在吗?3.一条直线的倾
4、斜角与其斜率有何对应关系?探究提示:1.(1)已知一点P(x0,y0).(2)斜率必须存在.2.垂直于y轴的直线,即与x轴平行或重合的直线的斜率等于0.3.当直线的倾斜角90时,直线的斜率k=tan.,【解析】1.由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2),即2x-y+7=0.答案:2x-y+7=02.直线垂直于y轴,故其斜率为0,所以此直线方程为y=1.答案:y=13.因为倾斜角为45,所以直线斜率为tan45=1,由点斜式方程得y-5=x-2,即y=x+3.,【互动探究】在题1中,若将“斜率为2”改为“斜率为k”,写出这条直线的方程,由此你能写出直线y-3=k(x-5)一定过哪一个点吗?【解
5、析】斜率改为k,则直线方程为y-3=k(x+2),直线y-3=k(x-5)中不论k取何实数,当x-5=0,即x=5时,y-3=0,故y=3.所以y-3=k(x-5)一定过点(5,3).,1.一条直线经过点P1(-2,3),斜率为2,则这条直线的方程为,【拓展提升】求直线的点斜式方程的方法步骤,【变式训练】已知直线l经过点(6,4),且与直线y-3=-(x+2)平行,求直线l的点斜式方程.【解题指南】根据直线l与直线y-3=-(x+2)平行,可得直线l的斜率,由点斜式可得直线l的方程.,【解析】由于直线l与直线y-3=-(x+2)平行,可得直线l的斜率为-,又直线l过点(6,4),由直线的点斜式
6、方程可得,直线l的方程为:y-4=-(x-6).,类型 二 直线的斜截式方程【典型例题】1.斜率为-1,在y轴上的截距为1的直线方程为.2.倾斜角为60,在y轴上的截距为-2的直线方程为.3.求倾斜角为150,与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程.,【解题探究】1.斜截式方程有怎样的基本形式?2.已知直线的倾斜角,如何求其斜率?3.距离与截距有何区别?,探究提示:1.若直线的斜率为k,且在y轴上的截距为b,则直线的斜截式方程为y=kx+b.2.直线的斜率k=tan(其中90).3.截距为直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标,截距可正,可负,也可以为零,而距离为非负.距离指的是线段的长度.,【解
7、析】1.由直线的斜截式可知，所求直线的方程为y=-x+1.答案:y=-x+12.直线的倾斜角为60，所以斜率为，直线方程为y=x-2.答案:y=x-23.直线的倾斜角为150，所以斜率为-，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b=3或b=-3，故所求的直线方程为y=-x+3或y=-x-3.,【拓展提升】直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线
8、的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.,【变式训练】已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=-7x-3,直线l与直线l1平行且与直线l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.【解析】因为l1l,故直线l的斜率为-2,又l与直线l2在y轴上的截距相同,故l在y轴上的截距为-3,所以直线l的方程为y=-2x-3.,类型 三 两直线平行与垂直的判断【典型例题】1.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a=.2.当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x-5与直线l2:y=4x+8垂直?,【解题探究】1.题1中的直线方程的形
9、式是什么形式?2.利用该形式如何判断两直线垂直?探究提示:1.斜截式方程.2.由斜截式方程中k,b的几何意义及直线垂直的条件,建立关于a的方程(组),求出a的值.,【解析】1.因为l1l2,所以a2-2=-1,且2a2,解得a=-1,所以a=-1时两直线平行.答案：-12.由题意知，k1=2a-1，k2=4，因为l1l2，所以4(2a-1)=-1，解得a=，所以a=时，直线l1：y=(2a-1)x-5与直线l2：y=4x+8垂直.,【拓展提升】两条直线平行和垂直的判定(1)平行的判定(2)垂直的判定,【变式训练】已知直线l：y=(a2-2)x+2a+9与直线y=-x+1 垂直，与直线y=3x+
10、5在y轴上的截距相同，求a.【解题指南】由两直线垂直，两直线的斜率之积等于-1，可求得l的斜率，由斜截式方程得出在y轴上的截距，根据与直线y=3x+5在y轴上的截距相同，求出a.,【解析】直线l与y=-x+1垂直，所以直线l的斜率为2；直线l与直线y=3x+5在y轴上的截距相同，所以直线l在y轴上的截距为5，故 解得a=-2.,【易错误区】利用斜截式方程求参数的误区【典例】已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1l2,则a=.,【解析】因为l1l2，所以a2+1=2,a2=1，所以a=1，又由于l1l2，两直线l1与l2不能重合，则3a3，即a1，故a=-1.答案:-
11、1,【误区警示】,【防范措施】1.等价条件的转化一些题目中的等价转化是解决问题的关键,如本例中由两直线平行可转化为两直线的斜率相等.2.特殊情况的处理在处理两直线平行问题时,要注意两直线是否重合的情况,如本例中若忽略重合情况,则会得a=1的错误答案.,【类题试解】已知直线l1：y=x+a，l2:y=(a2-3)x+1，若l1l2，则a的值为()A.4 B.2 C.-2 D.2,【解析】选C.因为l1l2,所以a2-3=1,a2=4,所以a=2，又由于l1l2,两直线l1与l2不能重合，则 a1，即a2，故a=-2.,1.斜率为-2,过点(3,-2)的直线方程是()A.y-2=-2(x-3)B.
12、y+2=-2(x-3)C.y+2=-2(x+3)D.y+2=2(x+3)【解析】选B.由直线的点斜式知,方程为y+2=-2(x-3).,2.直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A.2,3 B.-3,-3C.-3,2 D.2,-3【解析】选D.直线y=2x-3为斜截式方程,其中斜率为2,在y轴上的截距为-3.,3.过点P(2,1),且倾斜角是直线l:x-y-1=0的倾斜角的两倍的直线方程为()A.x-2y-1=0 B.x=2C.y-1=2(x-2)D.2x-y-1=0【解析】选B.直线l:x-y-1=0即为y=x-1,所以斜率为1,倾斜角为45,故所求直线的倾斜角为90,直线方程为x=2.,4.纵截距为-3且斜率为-的直线方程为_.【解析】由斜截式方程知直线方程为y=-x-3.答案:y=-x-3,5.(1)求经过点(0,2),且与直线l1:y=-3x-5平行的直线l2的方程.(2)求经过点(-2,-2),且与直线l1:y=3x-5垂直的直线l2的方程.,【解析】(1)由l1:y=-3x-5得k1=-3，由两直线平行知k2=k1=-3,所以所求直线方程为y-2=-3x,即3x+y-2=0.(2)由l1:y=3x-5得k1=3，由两直线垂直知k1k2=-1,所以k2=-,所以所求直线方程为y+2=-(x+2),即x+3y+8=0.,
