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1、3.3.3点到直线的距离,Q,思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?,如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.,当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.,Q,Q,(x0,y1),(x1,y0),(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是_.(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是_.,练习1,下面设A0,B 0,我们进一步探求点到直线的距离公式:,思路一,利用两点间距离公式:,P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：,点到直线的距离：,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行
2、直线间的公垂线段的长.,两条平行直线间的距离：,两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2:Ax+By+C2=0的距离是,点到直线的距离与两条平行直线间的距离1.点到直线的距离(1)定义:点到直线的_的长度.(2)图示:(3)公式:d=_.,垂线段,2.两条平行直线间的距离(1)定义:夹在两条平行直线间的_的长.(2)图示:(3)求法：转化为点到直线的距离.,公垂线段,判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)点到直线的距离公式适用于直线方程的任何形式.()(2)当点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上时,点到直线的距离公式不适用.()(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一
3、条直线的距离,也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离.(),提示：(1)错误.点到直线的距离公式只适用于直线方程的一般式.(2)错误.当点在直线上时，此时仍然适用，故这种说法是错误的.(3)正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.答案：(1)(2)(3),【知识点拨】1.对点到直线的距离的三点说明(1)点到直线的距离的本质:其本质是点与直线上任意一点连线长度的最小值,可用最小值的方法求出.(2)从几何特征上分析:点到直线的距离是点与过该点且垂直于已知直线的直线与已知直线的交点间的距离.,(3)点到直线的距离的几种特殊情况点P(x0,y0)到x轴的
4、距离d=|y0|;点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a0)的距离d=|y0-a|;点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a0)的距离d=|x0-a|.,2.对两条平行直线间的距离的理解(1)这个距离与所选点的位置无关,但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距离的最小值.,(3)两条平行线间的距离公式除了将两平行线间的距离转化为点到直线的距离求解外,还可以利用两条平行线间的距离公式 求两点间的距离.但在使用上述公式时,必须有两个前提条件:一是两条直线的方程都是一般式;二是x,y的
5、系数分别对应相等的情况,否则必须先化为对应相等才能套用公式.,类型 一 点到直线的距离【典型例题】1.点(0,5)到直线y=2x的距离是()2.求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程.,【解题探究】1.在使用点到直线的距离公式时,对直线方程有什么要求？2.已知直线的斜率和已知点的坐标,如何写出直线的点斜式方程？探究提示：1.必须把直线方程化成一般式.2.直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).,【解析】1.选B.y=2x化为一般式为2x-y=0,点(0,5)到直线y=2x的距离2.因为所求直线方程过点A(-1,2),且斜率存在，所以设直线方程为y-2=k(x+1),即kx-y
6、+k+2=0,又原点到直线的距离等于 所以解得k=-7或k=-1.故直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.,【拓展提升】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.,【变式训练】若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.(0,10)B.3,4C.D.(-,0)10,+)【解析】选C.由题意解得,类型 二 两平行线间的距离【典型例题】
7、1.两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于()A.3 B.7 C.D.2.已知直线l与两直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为_.【解题探究】1.求两平行线间的距离的依据是什么？2.与已知直线Ax+By+C=0平行的直线应如何表示？,探究提示：1.依据是点到直线的距离.可在其中一条直线上任取一点,利用点到直线的距离公式,转化为点到直线的距离.2.可设为Ax+By+m=0.,【解析】1.选C.在3x+4y-2=0上取一点(0,),其到6x+8y-5=0的距离即为两平行线间的距离,2.设所求的直线方程为2x-y+c=0,分别在l1：2x-y+
8、3=0和l2：2x-y-1=0上取点A(0,3)和B(0,-1),则此两点到2x-y+c=0距离相等,即 解得c=1,直线l的方程为2x-y+1=0.答案：2x-y+1=0,【互动探究】若将题1中的直线“6x+8y-5=0”改为“3x+4y-=0”,其余条件不变,又可如何求这两条直线的距离？【解析】,【拓展提升】求两条平行线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则两条平行线间的距离,【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=
9、0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0c,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()【解析】选C.a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,则a+b=-1,ab=c,x+y+a=0上一点(0,-a)到x+y+b=0的距离d=又0c,故d.,类型 三 距离公式的综合应用【典型例题】1.设x+2y=1,则x2+y2的最小值是.2.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的变化范围.(2)当d取最大值时,求两条直线的方程.,【解题探究】1.已知点P(x,y),则x2+y2表达怎样的几何意义?2.两条互
10、相平行的直线分别过点A,B,各自绕着A,B旋转并保持平行,旋转到何种位置时两平行线间的距离最大?,探究提示：1.x2+y2等同于即,表示原点O(0,0)与点P(x,y)的距离的平方.2.当两直线垂直于AB时,此时两平行线间的距离最大.,【解析】1.，它的几何意义是点(x，y)到原点的距离.因而其最小值即为原点到直线x+2y=1的距离，即所以x2+y2的最小值是答案:,2.(1)方法一：当两条直线斜率不存在时,它们间的距离为9.当它们斜率存在时,设两条直线为y-2=k(x-6)和y+1=k(x+3),则它们间的距离为 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0,因为kR,所以0,化简得d4-90
11、d20,解得d(0,9）U（9，.综上可知d(0,方法二：如图所示,显然有0d|AB|.而故所求的d的变化范围为(0,(2)由图可知,当d最大时,两直线垂直于AB.而,所以所求的直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.,【拓展提升】常见的距离公式应用问题的解题策略(1)最值问题:利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.(2)求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.,(3
12、)求方程的问题:立足确定直线的几何要素点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.,【变式训练】在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是()A.(5,-3)B.(9,0)C.(-3,5)D.(-5,3)【解析】选A.当PQ与已知直线垂直,垂足为Q时,符合题意经验证点Q坐标为(5,-3)时,kPQ=,且Q在直线3x-4y-27=0上,故选A.,【规范解答】平行与距离的综合应用,【典例】,【条件分析】,直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1/l2且l1与l2的
13、距离为5,求l1,l2的方程.,由已知条件设出直线的点斜式方程，但必须讨论斜率存在与否！,【规范解答】(1)若直线l1,l2的斜率存在,设直线的斜率为k,由点斜式得l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,由点斜式可得l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,3分因为直线l1过点A(0,1),则点A到直线l2的距离 5分所以25k2+10k+1=25k2+25,所以k=,7分所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.8分,(2)若l1，l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.10分综上所述,满足
14、条件的直线方程有两组：l1：12x-5y+5=0,l2：12x-5y-60=0;或l1：x=0,l2：x=5.12分,【失分警示】,【防范措施】1.分类讨论思想的应用特别是当直线的斜率存在与否不能事先确定时,一定要讨论.如本例中直线l1,l2斜率的存在与否,必须分情况讨论.2.注意解题的规范性不要漏掉步骤而使解析不规范.一般来说,解答题最后都要下一个结论.如本例中两种情况得到的直线方程,最后要下一个综合结论.,【类题试解】已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.【解析】(1)当直线l过点A(1,2)且斜率存在时,由题意设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-
15、y-k+2=0.因为原点到直线l的距离为1,所以 解得 所以所求直线l的方程为y-2=(x-1),即3x-4y+5=0.(2)直线l过点A(1,2)且斜率不存在时,直线l的方程为x=1,原点到直线l的距离为1,满足题意.综上所述,所求直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.,1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()【解析】选C.,2.直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0的距离为,则c的值为()A.-1 B.19 C.-1或19 D.无法确定【解析】选C.在x+3y-9=0上取一点(0,3),则 解得c=-1或c=19.,3.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_.【解析】两直线方程分别是x=-2和x=3，故两条直线间距离d=|-2-3|=5.答案:5,4.经过点(1,3)且与原点距离是1的直线方程是_【解析】当l的斜率不存在时,方程为x=1,满足与原点距离为1；当l的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1),由得,k=,直线方程为4x-3y+5=0.答案：4x-3y+5=0或x=1,5.求与两平行线l1：3x+4y-10=0和l2：3x+4y-12=0距离相等的直线l的方程.【解析】由题意设所求直线l的方程为3x+4y+C=0(-12C-10)，则由，解得C=-11，故直线l的方程为3x+4y-11=0.,
