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1、第十五章 虚位移原理,虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。分析力学的分析静力学中的最重要的原理。通过功、能等标量，用数学分析的方法研究系统（主要是非自由质系）的机械运动，它由拉格朗日（法，1736-1783）建立。,15-1 分析力学的基本概念,1.约束：将限制非自由质系运动的条件称为约束。,约束的数学表达式称为约束方程。,约束方程的实例,运动约束：限制质点系运动情况的运动条件。,几何约束条件：,几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。,稳定约束（定常约束）：约束方程中不显含时间。,不稳定约束（非定常约束）：约束方程中显含时间。,非完整约束：不可
2、积分的运动约束，约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），约束方程不可积分为有限形式。,完整约束：几何约束及可积分的运动约束。,例15-1 质点A、B由杆件及导轨连接成曲柄滑块机构形式。确定写出约束方程。,解：本题为平面问题，二个质点,有三个几何约束,以上约束方程是等式，允许质点作一定的运动但不允许质点从任何方向脱离约束，此类约束为双面约束（或不可解约束）。,约束方程是不等式，允许质点从某一方向脱离约束，此类约束为单面约束（或可解约束）。,虚位移,定义:在给定瞬时，质系中质点在所有约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为质系的虚位移。以 表示。,注意:,2.虚位移与实位移的区别：,
3、1.虚位移广义概念，可以是线位移、角位移、相对 线位移、相对角位移等。,实位移：实位移 是在 的时间内真实发生的，它除满足约束方程外，还满足动力学方程及初始条件。,虚位移：是实际未必发生的、虚设的、有任意性的与所受力无关的，只满足给定瞬时的约束方程，是约束的直接结果。,虚位移可以是无数个，而对应于主动力、时间、实位移初始条件实位移只有一个,例15-2 求例15-1中各质点的虚位移。,解：（1）几何法：,方向如图所示,（2）解析法,（直角坐标中虚位移的投影,约束方程式,虚位移满足关系式,（3）解析法（广义虚位移,（3）解析法（广义虚位移）,坐标表达式,虚位移表达式,理想约束：约束力在质系虚位移上
4、元功之和为零的约束。,例：光滑面约束,纯滚动约束,不可伸长轻质杆约束,17-2 虚位移原理,具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零。,或,或投影表达式,注：,当质点系存在摩擦力的非理想约束状态时，应用虚位移原理只需将摩擦力当作主动力。,原理推导,质系具有理想约束，且处于静止平衡状态,给质点系以某种虚位移，上式点乘虚位移 再将N个式子相加,约束力在虚位移中所作虚功；,主动力在虚位移中所作虚功。,质系具有理想约束,具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零。,例15-3 螺旋压榨机中螺杆的螺距为
5、。如果在手柄上作用一在水平面内的力偶，其力偶矩为，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。（忽略螺杆与螺母之间的摩擦）,解：（1）研究由手柄、螺杆及压板组成的平衡系统，忽略摩擦后，它是理想约束。标出主动力（及压板阻力）,（2）给系统以虚位移，手柄转角,压板行程,且,（3）计算主动力之虚功，并代入虚位移原理,由于 是任意的，故有,或,所求的压力与阻力 大小相等，方向相反。,（5）解题过程中，利用约束力不作功避免了所有约束力的出现，这是虚位移原理解题与几何静力学解题相比的巨大优点。,例15-4 三铰拱上有载荷作用力 及力偶，如图所示，求铰B的约束力。,解：三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋
6、予运动自由度，才能应用虚位移原理。,（1）求铰水平约束力：解除B铰的水平约束，代之以水平力。求系统在、作用下的平衡条件。,给虚位移，并用几何法计算各虚位移的关系。,所以,所以,（2）求B铰的垂直约束力：解除B铰的垂直约束，代之以垂直力。注意杆BCD的速度瞬心在A。,例15-5 图示系统中，滑轮轴承处光滑，细绳不可伸长，A处的水平面粗糙。A重2P，B重P。求维持系统平衡所需的C的重量，及此时水平面的最小摩擦系数。,解：将摩擦力 看成主动力，则系统受有理想约束。确定系统位形的坐标是，有约束关系式,为绳长，为某一常数。,或,系统的自由度数为2，可选 为任意,得,所以,例15-6 试判断下列各系统的自
7、由度，选择描述运动的广义坐标。,，如图（d）所示。,，如图（d）所示。,，如图（d）所示。,解：（a）自由度为2，广义坐标,（b）自由度为1，,，如图（e）所示。,，如图（e）所示。,（c）自由度为零。,例15-7 已知水平力P，求例图所示桁架1，2两杆的内力。,解:(1)为求1杆内力，将1杆解除，并代之以相应的内力，如图（b）所示。这样，结构 可绕 A 作定轴转动。,几何法得,又,所以,（拉力）,（拉力）,(2)为求2杆内力，同样将2杆解除，并代之以相应的内力（见图（c）。这样，原结构 变成了平行四连杆机构，结构 作 平动。,例15-8 图（a）所示之机构中，弹簧的刚度系数为，当AC距离等于 时，弹簧内拉力为零。如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡，求AC距离之值。设，杆重不计。,解：,时，弹簧为原长,，有,时，弹簧长度为，有,故弹簧力,去掉弹簧，暴露出弹簧分别作用在 AB与BC上的两力（图b）。,据虚位移原理，有,又,将式，代入式,的 独立性，得,要点及讨论,分析本题时，必须把弹簧去掉，暴露出弹簧作用在杆上的力。计算弹簧力的虚功时，用弹簧力与弹簧两端相对虚位移的乘积。如果用最小势能原理解题，则可不去掉弹簧而计入弹簧的势能。,
