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1、12.3 角的平分线的性质第二课时一、教学目标（一）学习目标1.了解角的平分线的判定定理；2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）学习重点角平分线的判定及其应用.（三）学习难点灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上（2）角平分线判定定理的符号语言：PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）2.预习自测（1）到角的两边距离相等的点在 上.（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ）A.三条边上的高线的交点 B. 三个内角平分线的交点C
2、.三条边上的中线的交点 D.以上结论都不对（3）在ABC中，C=90,AD平分BAC，BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是_，B=40，则CDA= .预习自测答案：（1）角平分线 （2）B （3）2cm，65 (二)课堂设计1.知识回顾（1）角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？生 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？生证明垂线段相等（3）填空 如图：OC平分AOB， OAAC,OBBC .AC=BC（角平分线性质定理）2. 问题探究探究一 角平分线的判定活动 （回顾旧
3、知，回忆类活动）把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？ 由学生抢答，然后师生归纳：到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的.【设计意图】由性质到判定强化二者的关系活动 证明上面的猜想学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.展示学生的学习成果：已知： OMPA于A，ONPB于B，AP=BP求证： OC平分MON证明：PAOM，BPONOAP=OBP=90在RtAOP和RtBOP中RtAOPRtBOP（HL）1=2 OC平分MON【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.活动归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.P
4、AOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究二 角平分线性质和判定的区别与联系活动现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？已知： CAOA于A，BCOB于B，AC=BC求证： OC平分AOB证法1：CAOA，BCOBA=B在AOC和BOC中AOCBOC（HL）AOC=BOC OC平分AOB证法2：CAOA于A，BCOB于B， AC=BCOC平分AOB（角平分线判定定理）先让学生回答，最后老师归纳：两种方法都正确，“方法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.【设计意图】让学生
5、体会角平分线判定定理的作用.活动 学生结合图形完善表中内容，教师对个别学生教学指导.题设结论作用角平分线性质角平分线判定展示学生学习成果：题设结论作用角平分线性质12（OP平分MON），PAOM，PBONPAPB证明垂线段相等角平分线判定PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）证明角相等（平分角）【设计意图】为归纳角平分线的性质和判定的关系作铺垫.活动提问：角平分线的性质和判定之间有什么关系？先让学生回答，最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和
6、角平分线判定定理是互为逆定理.【设计意图】培养学生的归纳概括能力.探究三 利用角平分线的判定进行证明与计算活动 （基础性例题）今天我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等例1. 已知：如图所示，CC90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定）【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】由条件CC90，ACAC，可以把点A看作是C
7、BC平分线上的点，由此可打开思路【解题过程】证明：（1）CC90（已知），ACBC，ACBC（垂直的定义）又ACAC（已知），点A在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）ABCABC（2）CC，ABCABC，180（CABC）180（CABC）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）【设计意图】区别角平分线的性质和判定.练习：如图，已知AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，且DE=DF.求证：BD=DC【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.【思路点拨】由DE=DF，可得BAD=CAD（角平分线的判定），则ADBA
8、DC，所以BD=CD【解题过程】证明：DEAB，DFAC，且DE=DF BAD=CAD 又AB=AC，AD=AD ADBADC BD=CD【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.活动2 （提升型例题）例2如图，ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等；A=40，则BOC=（）A110B120C130D140【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC=的度数.【解题过程】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分
9、线，所以有CBO=ABO=ABC，BCO=ACO=ACB，ABC+ACB=18040=140，OBC+OCB=70，BOC=18070=110故选A.【答案】A【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.练习：如图，ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等；A=52，则BOC=（）A128B116C75D52【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】根据三角形内角和定理求出ABC+ACB=128，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出OBC+OCB的度数，然后在OBC中，利用三角形内角和
10、定理列式进行计算即可得解【解答过程】解：如图，A=52，ABC+ACB=180-52=128，点O到ABC三边的距离相等，点O是ABC角平分线的交点，在OBC中，BOC=180-（OBC+OCB）=180-64=116故答案为：116【答案】B【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.例3. 已知：如图，AD、BE是ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.求证：O在C的平分线上.【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】由AD、BE是ABC的两个角平分线，可以得到垂线段OG与ON相等，OG与OM相等，再由垂线段ON与OM相等，得到O在C的角平分线上.【解题过程】证明：过O作O
11、GAB，OMBC，ONAC，AO平分BAC，OG=ON，BO平分ABC，OG=OM，ON=OM，O在C的平分线上.【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.练习：如图，BP是ABC的外角平分线，点P在BAC的角平分线上求证：CP是ABC的外角平分线【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的判定可得PC平分BCE【解题过程】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，BP是ABC的外角平分线，PDAD，PFBC，PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），点P在BAC的角平分线
12、上，PDAD，PEAE，PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），PF=PE，PFBC，PEAE，CP是ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系活动3 （探究型例题）例4. 如图，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是BAC的平分线【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.【思路点拨】由BE=CF， DB=DC，可得RtBDERtCDF（HL），所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是BAC的平分线【解题过程】证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，
13、BED=CFD，BDE与CDF是直角三角形，RtBDERtCDF，DE=DF，AD是BAC的平分线【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.练习：如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，BECF. 求证：AD是ABC的角平分线.【知识点】角平分线的判定；三角形全等.【思路点拨】由D是BC的中点，BECF，可得RtBDERtDCF（HL）则DE=DF，所以AD是ABC的角平分线.【解答过程】证明：DEAB，DFAC，BDE和CDF是直角三角形RtBDERtCDF（HL），DE=DF，又DEAB，DFAC，AD是角平分线【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.3
14、. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）能证明角平分线判定定理；（2）理解角平分线的性质和判定的关系；（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）理解角平分线性质与判定的关系；（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.（三）课后作业基础型 自主突破1如图，AOB=60，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.【知识点】角平分线的判定【思路点拨】由CDOA，CEOB，CD=CE，可得AOC=BOC=30【解答过程】解：
15、CDOA，CEOB，CD=CE，AOC=BOCAOB=60，【答案】302.如图，在RtABC中，B=90,A=40，DEAC且DB=DE,则BCD=_.【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。【思路点拨】由B=90,A=40，可得ACB=50由DEAC，ACDE ,DB=DE,可得ACD=BCD=25【解答过程】B=90,A=40，ACB=50，DEAC，ACDE ,DB=DE,ACD=BCD=25，即BCD=25【答案】253（1）如图，已知1 =2，DEAB， DFAC，垂足分别为E、F，则 （2）已知DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DE = DF，则 【知识点】角平分线的性
16、质和判定定理【思路点拨】（1）由角平分线的性质可得DE=DF；（2）由角平分线的判定可得1=2.【解答过程】（1）1 =2，DEAB， DFAC，DE=DF（2）DEAB，DFAC， DE = DF，1 =2.【答案】DE=DF1=24.已知PB，PC分别是ABC的外角平分线且相交于P求证：P在A的平分线上（如图）【知识点】角平分线的性质和判定.【思路点拨】过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC由PB，PC分别是ABC的外角平分线可得PE=PH，PH=PG，所以PE=PG，由此可得P点在A的平分线上【解答过程】证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，ACPB，PC分别是AB
17、C的外角平分线，PE=PH，PH=PG，PE=PGP点在A的平分线上5. 如图，ABCD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则P= 【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理.【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是ABC和BCD的平分线，再由ABCD，可得ABC+BCD=180，即CBP+BCP=90，所以P=90【解答过程】点P到AB、BC、CD距离都相等，BP、CP分别是ABC和BCD的平分线，CBP=ABC,BCP=BCDCBP+BCP=（ABC+BCD）ABCD，ABC+BCD=180，CBP+BCP=180=90，P=180
18、-（CBP+BCP）=180-90=90【答案】906. 如图，ABC，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：DA平分EDF； AB=AC； AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有（）A1个B 2个C 3个D4个【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等【思路点拨】由AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC可得DE=DF,再由AD=AD, DE=DF,可得ADEADF可得EDA=FDA.【解答过程】AD是ABC的角平分线，DEAB，DFACDE=DF,又AD=ADADEADF（HL）EDA=F
19、DA即正确；AD上的点到DE和DF的距离相等，AD上的点到AE和AF的距离也相等，即正确根据已知条件不能证明AB=AC, AD上的点到B、C两点的距离相等也不成立.【答案】B能力型 师生共研1.如图，在四边形ABCD中，A=90，AD=5，连接BD，BDCD，ADB=C若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离【思路点拨】根据垂线段最短，当DPBC时，DP的长度最小，易证ABD=CBD，根据角平分线的判定定理可得AD=DP，即DP长的最小值为5【解答过程】解：当DPBC时，DP的长度最小，BDCD，即BDC=90，又A=90，A=BDC
20、，又ADB=C，ABD=CBD，又DABA，DPBC，AD=DP，又AD=5，DP=5【答案】52已知：如图，是的中点，平分（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论2134DCMBA（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由【知识点】角平分线的性质和判定；平行线的性质和三角形内角和定理【思路点拨】（1）过点M作MEAD于点E，再根据角平分线的性质得到MC=ME，由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB，再结合MBAB，MEAD即可证得结论；（2）根据角平分线的性质可得，由B=C=90可得AB/CD，即可得到ADC+BAD=180，再根据角平分线的性质求解即可.【解答过程】（1）平分证明：过
21、点作，垂足为（角平分线上的点到角两边的距离相等）又，平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）（2），理由如下：（垂直于同一条直线的两条直线平行）（两直线平行，同旁内角互补）又，（角平分线定义）即探究型 多维突破1.如图，ABC中，ABC和ACB的外角平分线BP、CP交于P，PEAC于E，若ABC的周长为12，PE=2，SBPC=3，则SABC=_【知识点】角平分线的性质和三角形面积.【数学思想】利用割补法求三角形面积.【思路点拨】过点P作PFBC于F，作PGAB于G，根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2，BCP的高为2，则BC长为3，AC+AB=9,则四边形ABPCD的面积为9（
22、把四边形ABPCD沿AP分成两个三角形割补法），从而SABC=6【解题过程】如图，过点P作PFBC于F，作PGAB于G，ABC和ACB的外角平分线BP、CP交于P，PF=PG=PE=2，SBPC=3，BC2=3，解得BC=3，ABC的周长为12，AC+AB=12-3=9，SABC=SACP+SABP-SBCP=92-3 =9-3=6故答案为：62.如图，PB丄AB，PC丄AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BDP=CDP【知识点】角平分线的判定定理；全等三角形的判定和性质.【思路点拨】去证明BDP和CDP（或BDA和CDA）所在的两个三角形全等.【解题过程】证明:PBAB，PCAC，P
23、B=PCBAD=CAD在RtABP和RtACP中，RtABPRtACP（HL），AB=AC在ABD和ACD中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD（SAS），BDA=CDABDP=CDP自助餐1到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点【知识点】角平分线的判定定理.【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.【解答过程】解：如图，OE=OF,OEBC,OFABO在B的平分线上，同理可得O在A的平分线上，O在C的平分线上，O为三条角平分线的交点.【答案】D2如图，ADOB，B
24、COA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则1与2的大小是（）A.1=2B12C12D无法确定【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定【思路点拨】易证PCAPDB(AAS)，由此可得CP=DP,根据角平分线的判定定理可得1=2.【解答过程】ADOB，BCOA，ACP=BDP=90APC=BPD,CP=DPPCAPDB(AAS)，CP=DP,1=2.【答案】A3如图，已知PAON于点A，PBOM于点B，且PAPB，MON50，OPC30，则PCA 【知识点】角平分线的判定；三角形的外角性质【思路点拨】由PAON，PBOM，PAPB，可得NOP=MOP=25, 则P
25、CA=NOP+OPC=55【解答过程】解：PAON，PBOM，PAPB，NOP=MOP=25,PCA=NOP+OPC=25+30=55【答案】554如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别是50、60、70，其三条角平分线将ABC分成三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于_【知识点】角平分线的性质定理和三角形的面积.【思路点拨】过点O作ODAC于D，OEAB于E，OFBC于F，O是三角形三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，OE,OF,OD分别是ABO，BCO，CAO的高，则这三个三角形的面积正比就是对应底的比.【解题过程】过点O作ODAC于D，OEAB于E，OFBC于F，O是三角
26、形三条角平分线的交点，OD=OE=OF，AB=50，BC=60，AC=70，SABO：SBCO：SCAO=5：6：7【答案】5：6：75.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OBOC求证：12【知识点】角平分线的判定定理；三角形全等的判定和性质.【思路点拨】易证OBDOCE，可得: OD=OE,由角平分线的判定可得：12【解题过程】证明： 在OBD和OCE中，OBDOCE，OD=OEODAB于D，OEAC于E，OD=OE126.如图，在ABD和ACE中，BADCAE90，ADAB，ACAE（1）求证：ACDAEB；（2）试猜想：AFD和AFE的大小关系，说明理由【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定.【思路点拨】过A作AMDC于M，ANBE于N，由SAS可证ADCABE，根据全等三角形的对应边上的高相等，于是AM=AN，FA平分DFE【解题过程】（1） 证明：CAE=BAD=90CAD=EABAD=AB，AC=AEACDAEB（SAS）（2）AFD=AFE理由如下:过A作AMDC于M，ANBE于NADCABECD=BEAM=ANA在DFE的平分线上AFD=AFE
